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fextmUlon de la racine quarrée , & que je n'appliqiîe 

 ici qu'à im qiiarré de deux tranches dont la racine 

 ne contient que des dixaines & des unités ; cette dë- 

 monftration , dis-je , convient également à un nom- 

 bre plus grand , dont la racine contiendroit des cen- 

 taines, des mille, &c, en y appliquant les décom- 

 pofitions 6c les raifonnemens qu'on a vus ci-defTus. 

 il fufEt , en Arithmétique , de convaincre & d'éclai- 

 rer l'erprit fur les propriétés & les rapports des petits 

 ■nombres que l'on découvre par-là plus facilement, 

 & qui font abfolument les mêmes dans les. plus grands 

 nombres , quoique plus difficiles à débrouiller. 



D'ailleurs je n'ai prétendu travailler ici que pour 

 les commençan's , qui ne trouvent pas toujours dans 

 les livres ni dans les explications d'un maître de quoi 

 ic fatisfairc , & je fuis perfuadé que plufieurs verront 

 avec fruit ce que je viens d'expoîer ci-deffus. Si quel- 

 ques-uns n'en ont pas befoin, je les en félicite, & 

 îes en eflime davantage. 



Le plus grand réfidu poffible d'une racine quarrée , 

 «fl: toujours le double de la racine même ; ainfi la 

 racine quarrée de 8 étant i pour 4 , le plus grand ré- 

 fidu poffible de la racine a eft 4, double de 2. 



La racine quarrée de 1 5 étant 3 pour 9 , le plus 

 grand réfidu poffible de la racine 3 eft 6, double de 3. 



La racine <ïuar.rée de 24 étant 4 pour 16, le plus 

 grand réfidu poffible de la racine 4 ett 8 , double de 

 4, èc ainfi de tous les autres cas. 



De la racine cubique. On peut dire à-peu-près de 

 ïa racine cubique ce que nous avons dit de la racine 

 quarrée; extraire la racine cubique-, c'eft décompo- 

 fer un nombre quelconque, de façon que l'on trouve 

 iin nombre moindre, lequel étant multiplié d'abord 

 par lui-même,^ enfuite par fonquarré, ou par le 

 produit de la première multiplication, donne exac- 

 tement le premier nombre propofé , ou du moins en 

 approche le plus qu'il eft poffible. Ainfi extraire la 

 racine cubique de 1 5625 , c'eft trouver par une dé- 

 compofition méthodique la racine cubique 25, la- 

 quelle étant muhipliée d'abord par elle-même , pro- 

 duit le quarrê 625, & multipliée une féconde fois 

 par fon quarré 6255 forme le cube 15625. 



On a trouvé, en examinant les rapports & la pro»- 

 greffion des nombres , que cette multiplication dou- 

 ble de 25 par 25, & de 25 par fonquarré 625, pro- 

 duit premièrement le cube des dixaines 2 du nombre 

 propofé 25; cube qui fait 8000, parce que le 2 

 dont il s'agit eft 20. Or 20 X 20 font le quarré 400, 

 p.0 X 400 font le cube 8000. 



Secondement , cette cubification produit le triple 

 du quarré des dixaines 2, multiplié par les unités 5, 

 ce qui fait 6000 ; & cela, parce que le 2 dont il s'a- 

 git eft véritablement 2 dixaines 20. Or en le quar- 

 îcant , & difant 20 X 20 , on a 400 , en triplant ce 

 quarré 400 , on a 1 200 , en multipliant ce produit 

 lî 200 par les unités 5 , on a 6000. 



Troifiemement , cette cubification 2 5, &: ainfi 

 à proportion de toute autre , prodliit le triple 60 des 

 dixaines 2 ; triple 60 multiplié par le quarré 2 5 des 

 unités 5 , ce qui fait 1 500. 



Enfin cette cubification produit le cubé 

 il 2 5 des unités 5. Ces quatre produits par*- 

 Itiels , favoir ; 



1°. Le cube des dixaines ....... §000 



2*^. Le triple du quarré des dixaines 2 



multipHé par les unités 5 6000 



3°. Le triple des dixaines 2 multiplié par 



le quarré 25 des unités 5 1500 



4*. Le cube des unités 5 125 



iCesproduits forment, dis-je, le cube total... 15625 

 Au refte la génération de ces divers produits eft 

 plus difficile à démontrer dans les deux multiplica- 

 tions que l'on employé pouï former un nombre cu- 

 I^Çj que dans la feule multiplication que l'on employé 



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pour former un nombre quarré. Laraîfon tn eft^ que 

 dans ces deux multiplications les produits partiels fe 

 confondant entr'eux, & rentrant les uns dans les au* 

 très , on ne les découvre guère que par la décompo- 

 fitiort, au moins tant qu'on employé l'arithmétique 

 vulgaire. 



On fait par la pratique & par l'examen , que ces 

 divers produits réfultent néceffairement de ces deux 

 iftult^plieations par une propriété qui leur eft effen- 

 tielle , & qui fuffit, lorfqu'elle eft connue , pour con- 

 vaincre & pour éclairer. Il ne s'agit donc que de fa- 

 voir procéder à la décompofition d'un nombre quel* 

 conque , & d'en tirer ces difFérens produits d'une ma- 

 nière tacilê & abrégée, ce qui a fon utilité dans Toc- 

 cafion. 



Par exemple , on dit qu'un bloc de marbre quarré 

 de tous fcns a 15615 pouces cubes ; & fur cela on 

 demande quelle eft la longueur, largeur, & profon- 

 deur. Je le trouve , en tirant la racine cubique de 

 15625. Pour cela je partage ce nombre en deux tran- 

 ches , dont la première à gauche n'a que deux chif- 

 fres , la féconde en a trois. La première tranche à 

 gauche peut avoir trois, ou deux, ou même un feu! 

 chiffi-e ; mais les fuivantes doivent toujours être com- 

 plètes , &: toujours de trois chiffres , ni plus, ni moins : 

 c'eft ce que l'on pèut vérifier aifément par le produit 

 cubique des nombres 100 & 999 ; produit qui donne 

 d'un côté î , 000, 000, & de l'autre 997, 002, 999. 



Je dis donc , la racine cubique de 1 5 eft 2 pour 8 ; 

 j'écris 2 en forme de quotient, comme ^ . 

 l'on voit ci-à-côté ; puis je tire de la pre-— <— 

 miere tranche 1 5 le cube de ce 2 , en 7 ^ i 

 difant 2 X 2 font 4, 2 X 4 font 8 , c'eft-à-dire 8 mille î 

 or 8 mille tirés de 1 5 mille, refte 7 mille que j'écris 

 au-deflous de 1 5 , comme l'on voit dans l'exemple. 



Enfuite, pour trouver le fécond chiffre de k raci* 

 ne totale, & ainii du troifieme, quatrième, &c. en 

 fuppofant le nombre à décompofer beaucoup plus 

 grand , je baifte le 6 de la féconde tran- , , , 

 che , lequel avec le 7 réfidu de la prc--i-l~_=llJi-= 

 miere à gauche fait 76 ; puis je prens 12 1 ^ 1 

 triple du quarré du premier chiffre trou- ^ 2, | 

 vé 2 , J'écris ce nombre 1 2 fous 76 ; & je dis , en 76 

 combien de fois 1 2 , il y eft 6 pour 72 , & refte 4 , le^ 

 quel avec les 25 qui reftent de la féconde tranche , 

 fait 42 5, fur lefqueis je dois tirer le triple du premier 

 chiffre 2 dixaines , c'eft-à-dire 60 multiplié par le 

 quarré 36 du fécond chiffre trouvé , ou chiffre éprou- 

 vable 6, dont le produit 2160 ne fe peut tirer du 

 refte 425 , fans parler du cube 216 du même chiffre 

 6 ; cube quidevroit encore être contenu dans le reftg 

 415. 



Je vois donc que le chiffre à éprouver 6 que j'ai 

 trouvé pour fécond chiffre de la racine totale , & que 

 j'avois mis à part, ne convient en aucune forte, J'é^ 

 prouve donc le chiffre 5 ; & pour cela je dis 5 x 12 

 font 60, 60 tirés de 76, refte 16, lefqueis avec le 

 refte 25 de la féconde tranche font 1625 1 5-625] 



76 

 6 o 

 I 6 



Je forme à préfent le triple du pre- 62^^ 

 mier chiffre 2 dixaines , c'eft-à-dire 60 —ill— ii^ 

 multiplié par le quarré 25 du fécond 7 ^ 

 chiffre 5 , je tire le produit i 500 de j 

 1625 , après quoi refte 125 ; ce qui fait i o - 25 

 juftement le cube des unités 5 , que je * 5 00 

 dois encore tirer. ^ ^5 



Je vois par-là que la racine cubique du nombre 

 15625 eft 25 fans refte , & qu'ainfi je puis pofer 5 en 

 forme de quotient pour fécond chiffre de la racine 

 totale. 



Pour dernière preuve je prends le cube de 25 i & 



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