7 6 



4 



332^ 



retrouvant 1 5625 , je ne ptiis plus douter qoe mon 

 opération ne foit exade. 



Mais fans tirer tous ces produits partiels enfembîe 

 *mi féparément , on peut prendre un chemin plus 

 court, comme on l'a marqué en parlant de la racine 

 quarrée ; on dira donc, en fe fervant du 

 nombre propofé, la racine cubique de 15-62512 ' 

 1 5 eft 2 pour 8 ; j'écris 2 en forme de 

 -quotient , j'en forme le cube 8 que je 

 tire de la première tranche 1 5, en difant 

 2x2 font 4,2x4 font 8 ; 8 de 1 5, refte 

 7. Voilà l'opération faite pour la première tranche, 

 & le cube du premier chiffre 2 tiré. 



Pour trouver maintenant le fécond chiffre de la 

 racine totale, & ainfi du troifieme, quatrième, &c. 

 en fuppofant le nombre propofé plus grand; je ne 

 triple point , comme ci-devant , le quarré 4 du pre- 

 mier chiffre 2 , ce qui feroit 1 2. Je ne prens que le 

 tiers de cette fomme, c'eft-à-dire que je prens Am- 

 plement le quarré 4 du chiffre 2 , fans le tripler. En 

 récompenfe, & pour conferver la proportion , après 

 ^voir baiffé le premier chiffre 6 de la féconde tran- 

 che , lequel avec le 7 réftdu de la première fait 76 : 

 je n'en prens que le tiers 25 ; de même qu'au lieu de 

 12, je ne prens que 4; j'écris ce 4 fous 25 , comme 

 on voit ci-deffus ; & pour lors je dis, 

 €n 25 combien de fois 4, il y eft 6, com- 1 5-62512 

 me 1 2 eft fix fois en 76. Je pofe donc 6 j ^ 

 pour fécond chiffre de ma racine ; mais 2 5 

 comme 6 n'eft proprement qu'un chiffre 

 à éprouver, dont je ne fuis pas sûr; je 

 le pofe à l'écart pour m'en fouvenir, & je fais mon 

 épreuve. 



Ayant donc trouvé 26 pour racine totale , je vois 

 bien qu'il y a un réfidu dans le nombre propolé ; ré- 

 fidu qui doit fatisfaire aux deux autres produits que 

 je néglige de tirer: favoir le triple du premier chiffre 

 % dixaines , ou 60 multiplié par le quarré 36 du chif- 

 fre à éprouver 6 ; plus le cube 216 du même 6. Mais 

 encore un coup je néglige la formation & la fouf- 

 traârion de ces derniers produits qui font les moins 

 eonfidérables ; & dès que j'ai trouvé un nombre pour 

 le fécond, troifteme, ou quatrième chiffre d'une ra- 

 cine , je procède à la cubificatïon de tous les chiffres 

 que j'ai trouvés pour racines ; & je tire le produit , 

 s'il eft- poffible , de toutes les tranches dont j'ai fait 

 Y extraction. 



Ainfi , dans l'exemple propofé ayant trouvé 26 , 

 je cubifie 26 , c'eft-à-dire que je multiphe 26 par lui- 

 même, & que je multiplie eniliite Je quarré 676 par 

 le même 26; & trouvant alors 17576 pour cube de 

 26 , je vois que je ne le faiirois tirer de 

 mes deux: tranches 1 5625 , ce qui m'eft 

 «ne preuve que le chiffre à éprouver 6 7 ^ 

 de la racine trouvée 26 eft trop fort. Je ^5 

 prens alors le chiffre inférieur 5 pour 4 

 l'éprouver, ce qui fait la racine totale 25. Je cubifie 

 ce dernier nombre 25 ; & trouvant le produit ou le 

 cube 15625, qui fe peut tirer fans refte des deux 

 tranches 1 5 — 625 , je vois avec évidence que la ra- 

 cine cubique de 1 5625 eft tout jufte 25. 



Si le nombre propofé au lieu de 15625, n'etoit 

 que 15620, le procédé donneroit encore 25 pour ra- 

 cine; mais alors le cube 15625 de la racine 25 , ne 

 fe pouvant tirer de 15620, je verrois évidemment 

 que 25 n'eft pas au jufte la racine cubique de 1 5620; 



mettrois donc pour fécond chiffre 4 au lieu de 5 , 

 ce qui feroit 24 pour racine totale ; je l'éleverois 

 au cube, & je tirerois le cube 13824 de 

 ï562o;& pour lors je verrois, à n'en pou- 15620 

 voirdouter,quelai-acine cubique de 15620 13824 

 eft 24 , outre le refte 1 796 , laquel fait une 1 796 

 efpece de fraéèion dont on peut tirer la ra- 

 €Ïm cubique par des procédés coruius ; mais dont je 



1 5-6251,2 



E ]^ T 



ne parlerai point ici, pour ne pas aîonger davantage 

 ce morceau qui paroîtra peut-être déjà trop étendu» 



Au refte , ce qu'on vient d'expofer ici fur de petits 

 nombres, peut s'apphquer à tous les autres cas, 6è 

 pourra même répandre quelque lumière fur ces opé« 

 rations difiiciles que je n'ai poiat encore vues traî-* 

 tées d'une manière faîisfaifante , & que j'ai fait com- 

 prendre à des enfans de dix ans par le feul moyen de 

 l'arithmétique employée ci-deffus» 



Le plus grand réfidu poffible d'une racme cubi- 

 que eft la racine elle-même multipliée par 6, & ou- 

 tre cela le phts grand réfidu poftible de la racine im- 

 médiatement inférieure. Par exemple , la racine cu- 

 bique de 26 étant 2 pour 8 , le réfidu 18 eft le plus 

 grand réfidu poflible de la racine 2. Or ce réfidu elt 

 formé du fextuple 1 2 de la racine 2 , & du plus grand 

 réfidu poffible 6 de la racine inférieure. 



La racine cubique de 63 étant 3 pour 27, le ré» 

 fidu 36 eft le plus grand réfidu poflible de la racine 3 ; 

 or ce réfidu eft formé du fextuple 18 de la racine 3, 

 &: du plus grand réfidu poffible 18 de la racine infé- 

 rieure 2. 



La racine cubique de 124 étant 4 pour 64, le ré- 

 fidu 60 eft le plus grand réfidu poffible de la racine 4 ; 

 or ce réfidu eft formé du fextuple 24 de la racine 4, 

 & du plus grand réfidu poffible 36 de la racine infé"»»' 

 rieure 3 ; & ainfi des autres. Cet article ejî de iW, Fai-^^ 

 GUET , maître de penjîon à Paris. 



Lorfqu'un nombre n'a pas de racine exafte , il eft 

 facile d'approcher auffi près qu'on veut de la racine 

 par le moyen du calcul décimal, fur quoi voye^ les 

 articles APPROXIMATION & DÉCIMAL. Il ne s'agit 

 que d'ajouter au nombre propofé un certain nombre 

 de zéros, & d'extraire enfuite la racine à l'ordinaire. 



Il y a des cas , tels que ceux où la racine n'eft pas 

 exadle , où il eft plus commode d'indiquer Vextrac- 

 tion. Alors onfe fert de ce figne \/ , auquel on ajoute 

 l'expofant de la puiffance , s'il ne s'agit pas de la 

 puiffance féconde, car dans ce cas on le foufentend 



quelquefois. Ainfi ou 1/ fignifîent racine quarré: 2 



Y y racine cubique, &c. ^ojy^^ RACINE. 



Au lieu d'extraire la racine quarrée-quarrée , on 



peut extraire deux fois la quarrée, parce que \/ =; 



2x2 



V^. Au lieu d'extraire la racine cubo - cubique , on 

 peut extraire la racine cubique, & enfuite la racine 



6 2 X •; 



quarrée , car \/ — . Il y en a qui n'appellent point 

 ces racines cubo- cubiques , maiç quadrato-cubiques.VL 

 faut obferver la même regîe dans les autres cas , 011. 

 les expofans des puiffances ne font pas des nombres 

 premiers entr'eux. 



Preuve de V extraction des racines, 1°. Preuve de la 

 racine quarrée. Multipliez la racine trouvée par elle- 

 même ; ajoûtez au produit le refte , s'il y en a un ; & 

 dites que l'opération a été bien faite , fi vous avez 

 une fomme égale à celle dont on vous avoit propofé 

 d'extraire la racine quarrée. 



2°. Preuve de la racine cubique. Multipliez la raci- 

 ne trouvée par elle-même, & le produit par la ra- 

 cine. Ajoûtez à ce dernier produit le refte , s'il y en 

 a un ; & concluez que V extraction a été bien faite , 

 s'il vous vient une fomme égale à celle dont vous 

 aviez à extraire la racine cubique. 



Il n'y a point ^extractions de racines, dont la preu- 

 ve ne fe faffe de cette manière. 



Extraire les racines des quantités algébriques. Le fi- 

 gne radical annonce feul d'une manière évidente 

 Vextraction des racines des quantités algébriques fin-^; 

 pies. Ainfi \/a a QÛa , |/ aacc eft aej)/^aa ce eft 3 aCy 

 y/AQ a^x X eft j aax. Pareillement i/— eft ~ . 



l/tllï eft — 1/2^11 eft 1^ l/^ pfl- ^ 



