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EXT 



— 5^ > & V'^îî'Z^^ eïî: ^. On a auffi ^ V^^z^ c c 

 B X l>^a a c c ^ è X a c ::2 a If c : 8c -i c 



OU ^^TJ^. Je dis qiïe dans ces cas l ex- 



traciion efl évidente ; parce qu'on voit du premier 

 coup-d'œil que les quantités propofées ont été en- 

 gendrées par la multiplication des racines qu'on leur 

 attribue , & que a a x a, a ac c z=i ac X ac, 

 ^aa ce =^ ac X } a c, &c. Mais lorfque les quan- 

 tités algébriques font complexes ou font compofées 

 de plufieurs termes , alors VextraUion s'en fait com- 

 me celle des nombres. 



Soit propofé à^extrairt la racine quarrée àQa.a-\- 

 -\-b b. Ecrivez d'abord à la racine la racine 

 quarrée du premier terme aa, favoir a. Souftrayez 

 îe quarré de ^ ^ il reûera xab-{- bb. Pour trouver le 

 iia-\-xab^bb 1 a-\r'b refte de la racine , divi- 

 ^^"2^ I le fécond terme xdb, 



o-\^iab-\-bb 

 — Z a b — b b 



par le double de a ou par 

 z a j Se dites en xab , 

 combien de fois i^z, vous 

 ^ ^ trouverez de fois ; ^ fe- 



ra donc le fécond terme de la racine cherchée. Mul- 

 tipliez ^ par 2 ^ 4- & fouftrayez le produit. La 

 fouftradion faite, il ne refle rien : d'où il s'enfuit que 

 « 4- ^ efl la même racine exafte à^aa-^rab-^bb. 



Soit propofé ^&xtrairt la racine quarrée de a'^ + 

 6 ^ -f 5 iî a 3 ^ 1 2 ^ + 4 ^4. Mettez d'abord 

 au quotient la racine quarrée a premier terme 

 ■a^, Souftrayez le quarré de^ il reftera (> b■\^ 

 ^ a a b b ~ ii. a h'i ■\- b^. Dites en 6 b, com- 

 bien de fois luaUf vous trouverez 3 a b; écrivez donc 

 3 <z ^ à la racine. Multipliez 3 a ^ par i.cLci ^ -t^ ab , 

 & fouftra3rez le produit a'^ b aabb.'L2i fouf- 

 traûion faite , il reftera /^a^b b — \ x ab'^ -i^ j^h^. 

 Continuez l'opération , & dites derechef en — 

 ^aabb-^ 12. combien de fois xaa '\- (3 ab ^o\\ 

 le double des deux premiers termes , vous trouverez 

 •^ibh. Ecrivez donc à la racine —xbh; multipliez 

 --'Lbb^^x^aa^Gab^'Lbb, &fouftrayez ce 

 produit. La fouftraâion faite , il ne reliera plus rien. 

 D'où il s'enfuit que la racine cherchée eil ^ -j- 

 ab—^bb. Voici l'opération tout au long, 

 û 4 + 6 î ^ + 5 ^z^z ^3 1 2 ^ ^ î -f- 4 ^ 4 1 ^ _ ^ 



nf! — — 



O —Ga^b-iç-'^aabb^ixab'^ -\.ji^b^ 

 -{-6a,'^b — Cfaabb 



O —^aabb—i^ab'i-^^b^ 

 -I-4 aabb-^-iiab'i — ^b^ 



Pareillement la racine quarrée de xx — a x^- 

 c=:t~^;ceile àey'^-ir^y^ -8y + 4= aj + iy 



— 2; celle de 16 - 24^ x x+ 9 at^ 4- 12 bbxx 



- aa bb -\r Al>^- ^ XX --^aaJ^ xbb : comme 

 il paroit par ce qui fuit, 



XX — ax-^~^aa 1 x — \a 

 — XX • ~ ' — ^ 



o — ^z X'^\ a a 



o ô 



C)^4_ 2_^^2 ^4 



— 9 a;" 



+ 16 

 + 4 



iz4 





aabb 



3x^ — 4^<z-f2^i5 



b^ i 



+ 12^'^ X^— i6 



331 



8^ + 4 



o + 4 y^ + 4, y y 



® —4yy 

 4yy 



^y + 4 



Soit propofé d'extraire la racine cubique de a^'^ 

 •^^aab-^-^abb-^b^. Voici comment cette opé- 

 ration fe fait. 



a"^ -{-Jàab + ja'bb-\-b'^ 1 ^ + ^ 



3 fZ<z j -\- a a b 



a'i ^ aab -\- ^ abb-\-b^ 



Extrayez la racine cubique du premier terme <z^^ 

 & vous aurez a; mettez donc .2 à la racine. Souf- 

 trayez le cube de ^ ou il reliera 3^^^-f3^^^ 

 -hbK Dites : combien de fois le quarré de a m.ultiplié 

 par3,eft-ildans 3 ^^z^.'^ Il vous viendra de fois; écri- 

 vez donc b k la. racine. Souflrayez de a'i -\- ^ a ab 



j abb-^-b^s ,le cube de a-^b. La fouHradion fai- 

 te , il ne vous reliera plus rien ; donc a-^-beûla ra- 

 cine que vous cherchiez. Pareillement ;f + 2 ^ — 4 

 fera la racine cubique de -|- 6 7^ — 40 4- 96 ç 

 -- 64 ; & ainfi des racines des puilTances plus éle* 

 vées. (£) 



Sur iWA^z^t/ô/z des racines des équations, voye^ 

 Cas Irréductible, Equation, Racine, <S'c. 

 ^ On peut extraire facilement par logarithmes les ra* 

 cines des quantités numériques ; c'eft la méthode 

 de tous les calculateurs, f^oye^ Logarithme. 



Extraire la racine d'une quantité irrationnelle. Soit 

 par exemple, 3 — 2 v^2, dont on veut extraire la 

 racine quarrée, on fuppofera que x — \/y foit la 

 racine cherchée , & on aura xx -^y — ^ x \/y =: j 

 ^ 2 v^2 ; & faifant les parties rationnelles égales aux 

 rationnelles, & les irrationnelles aux irrationnelles^ 

 on aura x x -^y — -^ , x i/y= y^%; d'où l'on tire x^ 



= J5 &|+y=3; doncj'j- 3 y=:- %,ôcy 



= T + j== 10U2; donc;c^==:iou 2; donc 1/2,' 

 ou v/2 — I , ellla quantité cherchée. On peut appli- 

 quer cette méthode aux cas plus compofés. Foye^la. 

 fcience du calcul du P. Reyneau, VAnalyfe dêmontrét 

 du même auteur, V Algèbre de M. Clairaut, & d'au^ 

 très ouvrages*. 



C'eft par cette méthode à'extràire les racines deâ 

 quantités irrationnelles, qu'on trouve fouvent la ra- 

 cine commenfurable d'une équation du troifieme de- 



^ ? 



gré ; car \/ a + ^ \/ a — exprimant la racine 

 d'une telle équation , û on trouve x -f \/y pour la 

 racine cubique àe a-^ \/b,x-^ \/y fera la racine 

 cubique de ^z — \/b; ainfi la racine cherchée de le^ 

 quation fera 2 xj mais lorfque la racine efl commen- 

 furable , il eft plus court de la chercher par le moyen 

 des divifeurs du dernier terme. 



En général l'artifice de la méthode pour extraire 

 les racines des quantités irrationnelles , c'ell de les 

 fuppofer égales à un polynôme compofé de radicaux 

 & de quantités rationnelles inconnues , félon qu'on 

 le jugera le plus convenable. On formera enfuite au-* 

 tant d'équations qu'on aura pris d'inconnues ; & cha^ 

 cune de ces équations doit avoir des racines cora- 

 menfurables , fi le polynôme qui repréfente la racine 

 a été bien choifi. Ainfi la réfolution de ces équations 

 n'aura aucune difficulté. 



Au relie le mot extraciion fe dit plus proprement 

 & plus ordinairement de l'opération par laquelle on 

 trouve les racines des quantités algébriques ou nu-». 



