qui repréfente une face d'homme , un foleil , un vent, 

 un ange, &c. 



FIGURÉ , adj. {Arithmétique & Algèbre.) On ap- 

 pelle nombres figurés des fuites de nombres formés 

 fuivant la loi qu'on va dire. Suppofons qu'on ait la 

 fuite des nombres naturels i , i , 3 , 4 , 5 , & 

 qu'on prenne fuccefTivemertt la fommc des nombres 

 de cette fuite , depuis le premier jufqu'à chacun des 

 autres , on formera la nouvelle fuite x , 3 , 6 , i ô , 

 I 5 , ô-i:. qu'on appelle U fuite des nombres triangulai- 

 res. Si on prend de même la fomme des nombres 

 triangulaires , on formera la fuite 1,4, io , lô , à't, 

 qui eft celle des nombres pyramidaux, La luite des 

 nombres pyramidaux formera de même une nou- 

 velle fuite de nombres.Ces différentes fuites forment 

 les nombres qu'on appelle figurés ; les nombres na- 

 turels font ou peuvent être regardés comme les nom- 

 bres figurés du premier ordre, les triangulanes com- 

 me les nombres figurés du fécond , les pyramidaux 

 comme du troifieme ; & les fuivans font appellés du 

 quatrième , du cinquième , du fixieme ordre , &c. ôc 

 ainfi de fuite. Voici pourquoi on a donné à ces nom- 

 bres le nom de figurés. 



Imaginons un triangle que nous fuppofei'ons équi- 

 latéral pour plus de commodité , & divifons-le par 

 des ordonnées parallèles & équidiUantcs. Mettons 

 un point au fommel , deux points aux deux extré-^ 

 mités de la première ordonnée , c'eft-à-dire de la plus 

 proche du fommet; la féconde ordonnée étant double 

 de la première, contiendra trois points auffi diftans 

 i'un de l'autre que les deux précédens ; la troifiemé 

 en contiendra quatre ; & ainfi i , 2,3,4, &c. feront 

 îa fomme des points que contient chaque ordonnée : 

 maintenant il eft vîfible que le premier triangle qui 

 a pour bafe la première ordonnée , contient i -}- 2 

 ou 3 de ces points ; que le fécond triangle , quadru- 

 ple du premier , en contient i -{- 2 4- 3 ou 6 ; que le 

 îroilieme noncuple du premier en contient 1 + 2 

 -j- 3 -f 4 ou 10, &c. & ainfi de fuite. Voilà les nom- 

 bres triangulaires. Prenons à préfent une pyramide 

 équilatérale & triangulaire, àc divifons-la de même 

 par des plans parallèles & équidiftans qui forment 

 des triangles parallèles à fa bafe , lefquels triangles 

 formeront entr'eux la même progreffion i, 4, 9, 

 &c. que les triangles dont on vient de parler , il eû 

 vifible que le premier de ces triangles contenant 3 

 points, le fécond en contiendra 6, le ti'oiiieme 10, 

 &c. comme on vient de le dire, c'eft-à - dire que le 

 nombre des points de chacun de ces triangles fera 

 im nombre triangulaire. Donc la première pyrami- 

 de , celle qui a le premier triangle pour bafe , con- 

 tiendra I -j- 3 ou 4 points , la féconde 1 + 3 + 6 ou 

 ïo, la troifieme i + 3 + 6 + 10 ou 20. Voilà les 



nombres pyramidaux. Il n'y a proprement que les 

 nombres triangulaires & les pyramidaux qui foient 

 de vrais nombres figurés , parce qu'ils repréfentent 

 en effet le nombre des points que contient une figure 

 triangulaire ou pyramidale : pafTé les nombres pyra- 

 midaux il n'y a plus de vrais nombres figurés , parce 

 qu'il n'y a point de figure en Géométrie au-delà des 

 folides , ni de dimenfion au-delà de trois dans l'éten- 

 due. Ainfi c'cft par pure analogie & pour Amplifier, 

 que l'on a appelle figurés les nombres qui fuivent les 

 pyramidaujf. 



Ces nombres figurés ont cette propriété. Si on 

 élevé a ■\'b fuccefliyement à toutes les puiffanees 

 en cette forte , 

 a •\- b 



aa-{-2ab-\-bb 



a'i ^ a"^ b + ^ a b'^ b^ 



+ 4 + 6 4^ + 4 <2 + 

 a% &c. 

 Tome Fit 



1 



les coêfficiéns i , 2, 3 , cS-c-. de la fecbnde colonne 

 verticale feront les nombres naturels ; les coefficiens 

 ï , 3 , 6 , de la troifieme feront les nombres triangu- 

 laires ; ceux de la quatrième ,1,4, ^e, feront les 

 pyramidaux ^ & ainfi de fuite. 



M. Pafcal dans fon ouvrage qui a pouf titre trian-* 

 gle arithmétique , M. de l'Hôpital dans le liv. X. dt 

 fies feclions coniques > & plufieurs autres , ont traité 

 avec beaucoup de détail des ptopriétés de ces nom- 

 bres. Voici la manière de trouver un nombre figuré 

 d'une fuite quelconque. 



1°. I étant le premier terme de la fuite des nom- 

 bres naturels, on aura n pour le n^ terme de cette 

 fuite. Foyei Progression arithmétique. Donc 

 n efi le n^ nombre figuré du premier ordre, 



2"^. La fomme d'une progrefiion arithmétique efi 

 égale à la moitié de la fomme des deux extrêmes ^ 

 multipliée par le nombre des termes.Or le n^ nombre 

 triangidaire efi: la fomme d'une progreffiôn arithmé- 

 tique, dont I efi: le premier ternie , /z le dernier, & 

 n le nombre des termes. Donc le n^ nombre trian-t 



pulaire elt ■ x = < 



3°. Pour trouver le n^ nombre pyramidal , voies 

 comment il faut s'y prendre. Je vois que le n*^ nom- 

 bre du premier ordre efi: de la formé A n , A étant 

 un coefficient confiant égal à l'unité ; que le n^ nom- 

 bre du fécond ordre efi de la forme An^Bîln^A 

 & B étant égaux chacun à \ : j'en conclus que lé 

 n° nombre pyramidal fera de la forme ce « + ^ ^ /é 

 + c , et , ^ , c , étant des coefiiciens inconnus que 

 je détermine de la manière fuivante, en raifonnant 

 ainfi : ^\ CL n -\- ç, n n -\- c n"^ efi le n® nombre pyra- 

 midal , le 72+ i^doit être « (/2+1) + ^ (/z + i)* 

 + c (/z + I ) ^ . Or la différence du /z + nombre py- 

 ramidal & du n* doit être égale au /z + nombre 

 triangulaire , puifque par la génération des nombres 



figurés Xq. n-\-\^ nombre pyramidal n'efl: autre chofe 

 que le /z + nombre triangulaire ajoûté au n® nom- 

 bre pyramidal ; de plus le /z + nombre triangu- 

 laire efi " .'^ ^ ; on tirera une équation 

 qui fervira à déterminer a , /3 Se c , & on trouvera 

 après tous les calculs que azz + C/z/z + c/îî = ~ 

 + 1. . n+ x.n . ^ remarquer 



Xnn-\-^ n z=: — 



que pour avoir et, S, & il faut comparer fépàré- 

 ment dans chàqUe membre de l'éqUation les ter- 

 mes ou h fe trouve élevée au même degré ; car la 

 valeur de et , de C , & de c , étant toûjours la même ^ 

 doit être indépendante de celle de /z , qui efi variable* 



4°. Le nombre triangulaire de l'ordre n étant 

 — — — , & le pyramidal correfpondant étant 



72 + I . 



2. 3. 



, la fimple analogie fait voir que le 



n^ nombre figuré du quatrième ordre fera 



, & général il efi évident que 



— efi le n^ nombre figuré d'un ordre 

 I ° 



2. 3. 4. 







2 . i . . - 



quelconque , le n® nombre figuré du fuivant fera 

 ^ 4- ni + 1 ..... filivant cette exprefiîons 



le « + i^ nombre figuré de ce dernier ordre feroif 

 jJLjLf- "^ dont la différence 



avec le n^ efi évidemment 



n + m + 1 



n + m + 1 



» 



