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ç n 4- 1 



m+ I 



, qui efl: le /z -i- nombre ^guré de 



l'ordre précédent, comme cela doit être. 



En général fi + ^ /z ) (n + q) Çn-^q-i) 

 q— 1^ ' . . . i^,eftlen^ terme d'mie fuite 

 quelconque , & qu'on prenne fucceffivement la fom- 

 me des termes de cette fuite , le n^ terme de la nou- 

 velle fuite ainli formée fera (st+C/z)(/2 + ^ + i) 



(/2-f^)(/z + ^— i) 72 ; et & C étant deux 



indéterminées qu'on déterminera par cette condi- 

 tion, que le /2 + 1 ^ terme de la nouvelle fuite moins 



le n^de cette même fuite foit égal au n-\-i^ terme de 

 la fuite donnée. D'où l'on tire , en fupprimant de 

 part & d'autre les fadeurs communs (/2 + ^ + 1) . . . . 

 (/z+i) + + X (« + ^+?.) - (u + Cn) 

 y, n — A -\- B n-\- B y & par conféquent f == —~ 



n q A + ^ A + B 



Cette formule eft beaucoup plus générale que 

 celle qui fait trouver les nombres figurés ; car fi au 

 lieu de fuppofer que la première fuite foit formée 

 des nombres naturels , on fuppofe qu'elle forme une 

 progrelîion arithmétique quelconque , on peut par le 

 moyen de la formule qu'on vient de voir , trouver 

 la fomme de toutes les autres fuites qui en feront 

 dérivées à l'infini , Se chaque terme de ces fuites. En 

 effet le n^ terme de la première fuite étant A -\-B n, 

 le n^ terme de la féconde fuite fera (a-j-C/z)/?; le 

 terme de la troilieme fuite fera (t' + /z) (/z -f- 1) 

 &■ ainfi de fuite, y &c S' {q déterminant par a & ^, 

 comme et & C par A6cB , &c. A l'égard de la fom- 

 me des termes d'une fuite quelconque , il eft vifible 

 qu'elle el^l égale au n"^ terme de la fuivante. 



M. Jacques Bernoulli dans fon traité de feriebus 

 infiniils earumque fummâ infinitâ, a donné ime mé- 

 thode très-ingénieufe de trouver la fomme d'une fui- 

 te, dont les termes ont i pour numérateur, & pour 

 dénominateurs des nombres figures d'un ordre quel- 

 conque, à commencer aux triangulaires. Voici en 

 deux mots l'efprit de cette méthode : Si de la fraftion 



■ , on retranche 



on ai^ra 



a n -¥ am + a - An 

 X . n -T- I , , , n + m+ 1 



n + X . , . , n + m +1^ 



a (m + i) 



I n + ff» -t- I • 



D'oîi il eH aifé de conclure que la fomme d'une fui- 

 te , dont les dénominateurs font , par exemple , les 

 nombres triangulaires, fe trouvera aifément en re- 

 tranchant de la fuite i,^, -j, |, &c. cette même fuite 

 diminuée de fon premier terme , & multipliant en- 

 fuite par 2 , ce qui donnera 2. Fo^e^ dans l'ouvrage 

 cité le détail de cetu méthode. Voyez aujfî l'art. Suite 

 ou SÉRIE. 



On peut regarder comme des nombres figurés les 

 nombres polygones , quoiqu'on ne leur donne pas 

 ordinairement ce nom. Ces nombres ne font autre 

 chofe que la fomme des termes d'une progrefTion 

 arithmétique ; fi la progreffion eil des nombres na- 

 turels, ce font les nombres triangulaires; fi la pro- 

 grelîion ell I, 3, 5, 7, &c. ce font les nombres quar- 

 rés ; fi elle eft i , 4, 7, 10, &c. ce font les nombres 

 pentagones. Voici la raifon de cette dénomination ; 

 Conftruifez un polygone quelconque, & mettez un 

 point à chaque angle ; enfuite d'un de ces angles ti- 

 rez des lignes à l'extrémité de chaque côté , ces li- 

 gnes feront en nombre égal au nombre des côtés du 

 polygone moins deux , ou plutôt au nombre des cô- 

 tés , en comptant deux des côtés pour deux de ces 

 lignes; prolongez ces lignes du double, & joignez 

 les extrémités par des lignes droites, vous formerez 

 vui nouveau polygone , dont chaque côté étant dou- 

 ble de fon corre.lpondant parallèle , contiendra un 

 point de plus. Donc fi m efMe nombre des côtés de 

 ce polygone, la circonférence de ce polygone aura 



m points de plus que la circonférence du précédent ; 

 & le polygone entier, c'eft à-dire l'aire de ce poly- 

 gone contiendra w — 2 points de plus que le précé- 

 dent. Fby^^ Polygone. 



Une fimple figure fera voir aifément tout cela, 

 & montrera que pour les nombres pentagones où 

 m= <^,on2.m— 2=3, & qu'ainfi ces nombres font 

 la fomme de la progreffion 1,4,7, ^^^^ dif- 

 férence eft trois. 



On pourroit former des fommes, des nombres po- 

 lygones, qu'on appelleroit nombres polygones pyra^ 

 midaiix ; ces nombres exprimeroient le nombre des 

 points d'une pyramide pentagone quelconque. On 

 trouveroit ces nombres par les méthodes données 

 dans cet article, ^«^ye^ Polygone, Pyramidal, 

 Suite ou Série, &c. (O) 



FIGURÉES, (Pierres.) Hiji. nat. Minéralogie. 

 on donne ce nom dans l'Hiftoire naturelle aux pierres 

 dans lefquelles on remarque une conformation fmgu- 

 liere , inufitée &: tout- à-fait étrangère au règne mi- 

 néral, quoiqu'on les trouve répandues dans le fein 

 de la terre &: à f a furface , & quoique la fubflance 

 dont elles font compofées foit de la même nature que 

 celle des autres pierres. 



On peut diftinguer deux efpeces de pierres figurées , 

 1°. il y en a qui ne doivent leur figure qu'à de purs 

 effets du hafard, c'efl ce qu'on appelle communé- 

 ment des/g«x de la nature. Des circonftances toutes 

 naturelles , & qui ont pu varier à l'infini, paroifTent 

 avoir concouru pour faire prendre à la matière lapi- 

 difique molle dans fon origine , des figures fingulie- 

 res parfaitement étrangères au règne minéral , que 

 cette matière a confervées après avoir acquis un plus 

 grand degré de dureté. Ces pierres figuréesiom en très- 

 grand nombre ; la nature en les formant a agi fans 

 conféquence, & fansfuivre de règles confiantes; 

 elles ne font donc redevables qu'à de purs accidens 

 de la figure qu'on y remarque , ou pour mieux dire , 

 que croit fouveAt y remarquer l'œil préoccupé d'un 

 curieux qui forme un cabinet , ou d'un naturaliile 

 enthoufiafle, qui fouvent apperçoit dans des pier- 

 res des chofes qu'on n'y trouveroit pas en les exa- 

 minant de fang-froid. On peut regarder comme des 

 pierres figurées de cette première efpece, les marbres 

 de Florence fur lefquels on voit ou l'on croit voir des 

 ruines de villes & de châteaux ; les cailloux d'Egyp- 

 te , qui nous préfentent comme des payfages , des 

 grottes , &c. un grand nombre d'agates , les dendri- 

 tes, les pierres herborifées, quelques pierres quiref- 

 femblent à des fruits, à des os , ou à quelques autres 

 fubftances végétales ou animales. 



2°. Il y a des pierres figurées qui font réellement re- 

 devables de leurs figures à des corps étrangers au 

 règne minéral, qui ont fervi comme de moules, dans 

 lefquels la matière lapidifique encore molle, ayant 

 été reçue peu-à-peu, s'efl durcie après avoir pris la 

 figure du corps dans lequel elle a été moulée , tandis 

 que le moule a été fouvent entièrement détruit ; ce- 

 pendant on en trouve quelquefois encore une partie 

 qui efl refiée attachée à la pierre à qui il a fait pren- 

 dre fa figure. Ces pierres font de différentes natures, 

 fuivant la matière lapidifique qui efl venue remplir 

 les moules qui lui éioient préfentés. Dans ce cas il 

 ne refle fouvent du corps qui a fervi de moule , que 

 la figure. On doit regarder comme des pierres figurées 

 de cette féconde efpece, un grand nombre de pierres 

 qui reffemblent à des coquilles , des madrépores , du 

 bois , des poifTons , des animaux , &c. ou qui portent 

 des empreintes de ces fubflances. Foye^ f article Pé- 

 trification. 



Il paroît que les deux efpeces de pierres dont nous 

 venons de parler , méritent feules d'être appeilées 

 pierres figurées. Cependant quelques naturalifles n'ont 

 point fait difficulté de donner ce nom à un grand 



