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considéré n'est pas un nombre entier. I>e plus, la démonstration 

 semble artificielle paire qu'elle s'appuie sur le théorème suivant : 

 a + b est égal nu supérieur à 2\ ah, et l'application de ce théo- 

 rème introduit, en apparence, de trop grands changements dans 

 la somme à calculer. 



On peut taire disparaître ces deux défauts et introduire quelques 

 simplifications dans la démonstration de la manière suivante : 



Soient p et <i les probabilités simples de deux événements con- 

 traires A et B soumis à un nombre fa d'épreuves répétées dans les 

 mêmes circonstances. On a 



(p 4- fif = P* 1 + mj» m _ { q H h &™p m q n H \- wf ~~ 1 + 9 M ^ 



(P + ^ — + T fi _ 1 + ». + T w + + T, + T 0 , 



Dans la démonstration du théorème de lîernoulli, on cherche 

 une valeur approchée de 



r désignant le plus grand entier contenu dans (u -f- i)p, L un 

 nombre entier tel que P ne tonne qu'une partie de ( p -j- = J . 

 On sait que T r est le terme le plus grand du développement de 

 (p + r,/\ 



Premier cas : r = u;>. Limite inférieure de P. Dans ce cas, on 

 trouve immédiatement, par la formule de Stirling, 



où 



