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4. dx : V(A V + 1) (iV - 1) ; 5. dx : \Z(W + i) (fx* + 1) , 



en d'autres de la forme 



6. dy : V(!=?)(1-*V) 



à une constante [très, /» 2 étant compris cuire zéro et l'unité. 



Cayley, dans son Treatise on Elliplic b unrtimts or '.ON -, VI ±) 

 résout péniblement cette question en posant x 2 = (a + % 2 ) : 

 (c + %*) et déterminant les constantes a, b, c, d de manière 

 à réussir. 



Mais on arrive bien plus facilement au but, en ramenant les 

 formes % 3, 4, 5 à J, puis 1 à 6. 



Pour cela, on fait x 2 = a 2 — y 2 , si est toujours fini (cas 2 

 et 3), x 2 = y 2 — a 2 , si x 2 peut croître indéfiniment (cas 4 et 5). 

 Il suffît de faire les calculs pour voir que l'on réussit toujours. 

 Si on choisit dans les cas u 2 et 3 la substitution qui convient à 

 4 et 5 ou inversement, on s'en aperçoit tout de suite et il sullit de 

 changer les signes de a 2 et de //\ pour utiliser les calculs déjà laits. 



Pour réduire i à 6, on pose hx = y, j 2 = k~h\ si /r surpasse /. 



Nous avons indiqué antérieurement < A vwi i> m-: i.a Sociktk 

 scim.ntifiouk m; Hm uxKi.LKs, lt)()3, t. XXVII, l rr partie, p. 125) un 

 moyen tout aussi simple pour réduire les intégrales elliptiques 

 à la forme normale de Weierstrass. 



M. Mansion fait la communication suivante sur lu formule 

 sommatoire d'Euler et Maclaurin. 



Soit y = fx l'équation d'une courbe croissante depuis x = x 0 

 jusque x = x l0 et ayant sa convexité de x = x 0 àx = x ( ,ssi con- 

 cavité de x = xt à x = x l0 tournée vers l'axe des x, xt correspon- 

 dant à un point d'inflexion où /",/-,■ a sa valeur maxima. Proposons- 

 nous de calculer la somme 



S = !y. + y, + -+lfc + |y,., 



2/oj Vi-, y 0 , y l0 étant onze ordonnées équidistantes de manière 

 que rCj — x 0 = x 2 — x x = • • • = x l0 — x g = h. Pour fixer les 

 idées, supposons que le point d'inllexion i{x t , yt) soit situé entre 

 et 7(x,, y 7 ) et que x t soit plus près de x~ t que de x 6 . 



