L'aire de la courbe entre y 0 et y l0 sera inférieure à la somme 

 des figures suivantes : i° Les trapèzes formés par l'axe des x, les 

 ordonnées y 0 , y u y 6 et les cordes joignant les points (0, i), 

 (1, 2), (5, 6). 2° Le rectangle ayant pour base d'intervalle 

 œ 1 — x 6 = h des ordonnées y 6 et y~ et pour hauteur y-,; celui qui 

 a pour base l'intervalle x- t ± — a? 7 = ^h, des ordonnées y 7 i, y, et 

 pour hauteur y~±. 3° Les trapèzes obtenus en menant par les 

 points 8, 9, les tangentes à la courbe limitées par les coordonnées 

 qui en sont distantes de part et d'autre de ^ h, ordonnées formant 

 avec des portions h de l'axe des x, les côtés de ces trapèzes. 4° Le 

 rectangle de base ^ h, de hauteur y l0 . 



On trouve ainsi 



*(Ç + v. • + y, + 1 + y, + -| +y 8 4- y. + 1-° ) > Jto*, 



Par un procédé analogue, on prouve que l'on a 

 S<{ffrdx + \{y^-y 6 ) 



Si le point i se trouvait entre les points 6 et 6^, les indices 6^ 

 et 7^ devraient être permutés dans ces formules. Si yt était équi- 

 distant de y 6 et y 7 , on pourrait mettre y r> t_ dans les deux formules. 



On peut observer que 



y*{ — < \ hf'xt ; y,y — y, < | hfxt 



