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La probabilité pour un n me coup quelconque d'amener sur une 

 mise a déterminée un événement dont la probabilité est p^ est, 

 d'après le théorème des probabilités composées, égale à p x p a . 



Le théorème de Bernouilli fait connaître qu'on peut toujours 

 déterminer un nombre u de [orties tel qu'on ait, avec une proba- 

 bilité supérieure à ? l : 



mi„ = M(p,P«+€, a J) 



€i a étant en valeur absolue inférieur à l'unité, m, a désignant le 

 nombre de n m,s coups ayant amené l'événement composé délini 

 ci-dessus, dont la probabilité est p x p u . 



Le gain total produit par l'ensemble des n m " coups ayant 

 amené simultanément la mise a et le résultat p l est donc, avec 

 une probabilité supérieure à P : 



*m - WMPxPa + CiJ) 



De même on aura, en utilisant des symboles dont la si^nilica- 

 tion résulte de ce qui précède : 



s\b = voMpiP* + *»0 • • • 



La probabilité que les gains s\ a , s\ b , ■ ■ • répondent simultané- 

 ment aux égalités ci-dessus est, en désignant par f le nombre 

 (supposé fini) des mises a, b, c supérieure à V. Mais dans le 

 cas où chacune de ces égalités serait vérifiée on aurait, en 

 désignant par s 1 le gain total pour les n mcs coups ayant amené 

 l'événement p t : 



*i = WiPMPa + bp b -\ ) + uX, 



X, étant aussi petit qu'on veut lorsque / est suflisamment petit. 

 De même 



s 2 — W&t(opa + bp b -f • • •) + uX 2 



avec une probabilité supérieure à Pt, et X 2 étant aussi petit qu'on 

 veut si / est suffisamment petit. 



Pour l'ensemble des n mes coups, le gain total sera : 



