DES DIVERS RÉSULTATS POSSIBLES d'UNE ÉLECTION ETC. 69 



résultais anormaux; et comme, pour ces résultats, P m.n sur- 

 passe la probabilité P,».n, il faudra, réciproquement, que la 

 somme des probabilités P'm.n. comprises dans R , soit plus 

 petite que la somme des valeurs correspondantes de Pm.n- La 

 probabilité R' est donc trop faible. Sa valeur exacte, dans 

 l'exemple choisi par Poisson, devra être encoi'e plus rapprochée 

 de l'unité, de sorte que les conséquences, que Poisson tire de 

 la grandeur de cette probabilité, subsistent à fortiori On recon- 

 naît ainsi que le calcul dé Poisson donne pour la probabilité 

 cherchée une limite inférieure, qui, lorsqu'elle est voisine de 

 l'unité, peut rendre les mêmes services que la valeur exacte 

 elle-même. 



§ 5. Nous voyons donc que Poisson , sauf pour le cas d'un très 

 grand nombre de bureaux, s'est borné à calculer le rapport 

 moyen entre les bureaux qui votent dans le sens de la majorité 

 et ceux qui votent dans le sens de la minorité; et qu'il n'a pas 

 cherché à calculer en outre la probabilité de ce rapport moyen, 

 ni celle des autres rapports, différents de celui-ci. Là où il a 

 essayé de le faire, à savoir dans le cas d'un grand nombre de 

 bureaux, sa solution prête à de graves objections. Combler cette 

 lacune, et par conséquent déterminer quelle est la valeur maximum 

 de P,,t.n et comment cette valeur décroît pour des rapports dif- 

 férents, tel est le but que je me propose d'atteindre. Suivant que 

 ^ les données a, b, m et n, dont Pra.n est une fonction, sont ou 

 li non de grands nombres, qui rendent nécessaire l'emploi de for- 

 mules d'approximation, cette recherche se partage d'elle-même 

 \ en trois parties, à savoir, les suivantes: 



' A. a et 6, et par conséquent aussi m et n sont à' assez petits 

 nombres. Dans ce cas , on peut suivre la méthode que j'ai développée 

 dans le Journal des actuaires français (t. III, 1874). 



B. a et b sont des nombres assez grands, m et n au con- 

 traire des nombres assez petits. Ce cas va faire l'objet de 

 notre étude. Dans ce premier Mémoire, je développerai P^-n sous 



j la forme d'une intégrale connue, et j'en déduirai quelques con- 

 clusions générales. L'hypothèse la plus simple, m + i= 2, a 



