100 G. F. W. BAEHR. xNOTE SUR LE MOUVEMEiNT ELLIPTIQUE. 



la distance PS reste constante, et par conséquent aussi la lon- 

 gueur de MO parallèle à PS', qui de plus passera toujours par 

 le même point 0, milieu de SP. Ainsi le lieu géométrique du 

 centre des différentes trajectoires que Ton obtient en variant la 

 direction de la vitesse initiale, dont la grandeui' reste constante, 

 est un cercle qui a son centre au milieu du rayon vecteur 

 initial, et dont le rayon est égal à la moitié de la différence du 

 grand axe avec le rayon vecteur initial. On voit par là comment 

 on peut construire le lieu géométrique des sommets , qui présente 

 encore ce cas remarquable: 



Si la vitesse initiale est en grandeur telle, que, pour une direction 

 perpendiculaire au rayon vecteur, la trajectoire serait un cerclé, 

 on a , poui- une direction quelconque , PS' = PS ; alors PM sera 

 toujours perpendiculaire à SS\ SS' parallèle à PA, et le cercle 

 des centres M sera le cercle décrit sur PS comme diamètre. 

 Donc, alors les grands axes des trajectoires seront parallèles à la 

 vitesse initiale , la position initiale P du mobile sera un des sommets 

 du petit axe, le lieu de l'autre sommet de cet axe sera le cercle 

 de rayon SP décrit du centre S, et le lieu des sommets du 

 grand axe sera la courbe nommée limaçon de Pascal. 



Quand l'attraction est en raison directe de la distance, on a, 

 prenant l'axe des x suivant le rayon vecteur initial et Taxe des 

 y, ou OQ, parallèle à la vitesse initiale PV, pour l'équation de 

 la trajectoire elliptique 



u 



OÙ Vq = OP, fig. 3, et où ,1 représente l'attraction sur l'unité de 

 masse à l'unité de distance ; les axes des coordonnées sont deux 

 diamètres conjugués. 



On trouve pour la vitesse fj que le mobile aurait au centre 0, 

 en partant sans vitesse initiale de P, et se mouvant sous Faction 

 d'une force directement proportionnelle à la distance, 



