144 A. BENTIIEM GZ. THÉORIE DES NOMBRES COMPLEXES 



w devient infini, et aussi s'il devient zéro et que la fonction ait 



la forme w^Y ^{z) + ^i^Y ~{z) , où F, (z) et (z) représentent 

 des fonctions algébriques rationnelles de z. Le point P du plan 

 des s, qui indique la valeur de z pour laquelle un ou plusieurs 

 facteurs affectés d'un signe radical (pourvu que le nombre n'en 

 soit pas égal à l'indice de la racine, ou multiple de cet indice) 

 deviennent nuls ou infinis dans un ou plusieurs termes de la fonction 

 it;, ce point P, dis-je , porte le nom de point de ramification. 



39. Si l'on a : w = v^z (50) 



et que z passe, le long de l'axe, de = + 1 à ^2 = — ^ ^ 

 peut se présenter deux cas : le passage de : peut se faire ou bien 

 de \ ]^kn à 1Î(2Ah-1)^, ou bien de Xl'îkn à lî(2^— 1)^. 

 Cela dépendra de la question de savoir si la droite P, P^ (fig. 5) 

 doit être regardée comme provenant d'une ligne courbe PjPjP^ 

 ou d'une ligne courbe P, P4 P^ , lignes qui, réunies, enferment 

 l'origine. 



Dans le premier, cas, il est nécessaire et suffisant de rechercher 

 quels points de correspondent aux valeurs successives de z, 

 lorsque z passe le long de l'axe de IjOalfTi, et aussi de 

 If^TT à IfS?!. Jusqu'au point 0, on a lors du premier passage 

 zrzr'îO et par conséquent i^?'f 0, lors du second :=rf 2^1 



et w z= V-^r] n , r décroissant, dans chacun des deux passages, 

 de 1 à 0. A l'origine, les valeurs de z sont égales, attendu qu'un 

 point 0 ne peut pas être dit situé dans une certaine direction 

 par rapport à ce même point 0. Pour : = 0 , ip devient également 

 0, et coïncide donc aussi, pour chacun des deux groupes, avec 

 l'origine. Dans la suite du mouvement, z a les valeurs r\n Qir]^n ^ 



- 3 TT 



et w par conséquent les valeurs l^r] — et V^rf — , de sorte 



que la valeur absolue de w croît, tout comme celle de 2 , deOàl. 

 On arrive donc à ce résultat: si l'on a OA=:OB=: AjO = BjO=i 1 

 et OPi = P^O = i , et que Pj OP2 provienne de la ligne courbe 

 PjPjP^, la fonction w prendra, lorsque z passe de P, suivant 



