146 A. BENTHEM GZ. THÉORIE DES NOMBRES COMPLEXES 



prendre pour le point , quel que soit le chemin par lequel 

 elle parvienne en ce point, que les valeurs zi: r |(« + ^ A ^) , 

 qui, substituées dans une fonction monodrome, donnent pour vj 

 un seul et même point du plan des w (n" 37). Mais lorsqu'il 

 s'agit d'une fonction polydrome, un point déterminé du plan des 

 z correspond, en général, à plus d'un point du plan des w, de 

 sorte que, dans ce cas, rien n'exclut à priori la possibilité que 

 des chemins différents, parcourus dans le plan des z vers un 

 point déterminé, conduisent à des points différents dans le plan 

 des w. L'examen de cette question se réduit à l'examen de l'in- 

 fluence que le parcours de ces différents chemins exerce sur la 

 valeur de l'expression binôme ^ + , comme nous allons le 

 montrer. 



41. Soit i(; = 1^7+77 (5^) 



où nous attribuons à une valeur déterminée, directe ou in- 

 directe. Lorsque z va par des chemins différents de P, à , 

 ces chemins n'ont aucune influence sur la valeur de w, s'ils 

 donnent, au point P^ , la même valeur pour - + Si PjP^Pj 

 et PjP4P2 sont deux de ces chemins (fig. 6*^), on trouve les 

 valeurs de z-\-Pi en prenant dans la fig. 6* le point Q = ;?,, 

 et construisant ensuite sur QT//OX une figure QQ,Q3Q2Q4 

 congruente avec OPj P3P2P4, de façon que QT soit homologue 

 à OX (§ "i). Les points et P^, et P^, ainsi que les lignes 

 Q1Q3Q2 et PjPaP,, 0,Q4Q2 et P.P^P^ se correspondent 

 alors. Si OQ2 est = r et l'angle XOQ2 =<P, on a = r|<iP, 

 que z -h Pi ait parcouru le chemin Q, Q3 Q2 ou le chemin 



Mais si l'on fait parcourir à z deux chemins de telle nature 

 que les chemins correspondants de z-j-p^ enferment l'origine, 

 les valeurs que prend en différeront de direction. 



En supposant que les deux lignes QiQsQi et Q1Q5Q2, par- 

 courues par ^-t-jOj, soient disposées comme le montre la fig. 7, 

 et que par le premier chemin on ait en z -h jOj = rf go, on 

 aura par le second ^H-jOi =r]{(p -h ^n). Dans le cas, au con- 



