ET BICOMPLEXES. 



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celle valeur de w devient par là tv — e'^^^^^ rSmf*, où e et r 

 représentent des nombres absolus , tandis que r Sin « marque la 

 direction dans laquelle doit être pris /^'^^'^ 



D'après ce qui a été dit au § 2, la valeur de /(z)peut, pour 

 chaque valeur déterminée de être réduite à la forme rfa, 

 de sorte que l'on peut aussi, pour un point quelconque du plan 



des z, ramener la valeur de iv^ze^^^'^ à la îorme e '^^^^"^ r Sin a. 



(On entend donc ici par iv = e^^^^ la valeur que prend it' , lorsque 

 la valeur de dans u', =:f(z), pour un point déterminé de V^, 



est substituée dans wz=e^'). 



Si maintenant on fait parcourir à z deux chemins différents 

 du point Pj au point , et que par l'un de ces chemins on 

 ait pour P 2 f{z) = r]ci et par l'autre chemin / (5)=: r|(« m ^i), 

 où m peut avoir (§ 8) une valeur quelconque entière ou frac- 

 tionnaire (ou aussi zéro), on a pour P2 par le premier chemin 



r Cos a A o • l i j u • ^ (^'os (a + m tÙ 



w=.e \rSmu et par le second chemm iv:=e ^ 



t r 5m (a H- m -t). Il en est de même dans le cas où P^ et Pj 



nombre absolu, mais -{-1/ — 1.^ indique la direction dans laquelle la puissance 

 absolue doit être prise; q représente alors la longueur de l'arc, exprimée 

 en rayons. A raison de la signification modifiée de 1 dans l'exposant, 



on n'est pas autorisé non plus à remplacer , dans celui-ci , — l.q par rf 

 En remontant à la série e~ = -\- \ -\- z -\- — -j- — [-•••■. qui a con- 



duit à l'introduction de -\-J/ — 1 dans l'exposant, et qui est reconnue comme 

 d'une application absolument générale, et en y donnant à z les valeurs 



/• I = p-\- . ^ , on obtient : 



= 4-l + 4« î 2« + Î3a4- 



Or, la sommation du second membre donne un nombre coniplexe, dont le „ 

 module est indiqué par le nombre absolu ^'^^ ^ é\ et l'amplitude par 



Sin n — Les expressions doivent donc être regardées 



toutes deux comme des symboles , qui remplacent la série ci-dessus et auxquels 



doit être attribuée la valeur ^\ q. . • 



