156 A. BENTHEM GZ. THÉORIE DES NOMBRES COMPLEXES 



coïncident et où par conséquent z parcourt une ligne fermée , de 

 sorte que w=ze^^^^ et w = sont simultanément des fonctions 

 monodromes ou polydromes de z: c'est ainsi que e^^~^^ est une 



fonction polydrome, e « = p^e^~^P une fonction monodrome. 



Comme on a d'ailleurs (voir form. (34)) a-^^'^=z (e^^/^"^z=/^"^ , 

 on peut établir la proposition suivante: 



Lorsque r exposant de la puissance d'un nombre absolu a est 

 une fonction d'une variable complexe z, cette puissance est 

 monodrome ou polydrome , suivant que V exposant est lui-même 

 une fonction monodrome ou polydrome de z. 



Dans le cas où la fonction exponentielle de z est polynôme, 

 les considérations du § 9 sont applicables, et par conséquent la 

 monodromie ou polydromie de cette fonction dépend de celle 

 des termes séparés. Lorsqu'une fonction exponentielle polynôme 

 se trouve sous un signe radical, elle n'est pas encore pour cela 



polydrome. C'est ainsi que w^X^e^^ q est monodrome, at- 

 tendu que pour z — r] (« + 2 A- ^) , r Cos (« + 2 A; ^) =z m et 



r Sin -h ^ A- ^) = u , on a toujours w = e^"^ ] p -\- q. de 

 sorte qu'à un même point du plan des z ne correspond qu'un 



seul point du plan des v). Pour la fonction mixte w^^!^ f{z)e''^'^ 



- F {z) Y (z) 



on peut écnre w:=:e « .-Cyf{z), d'où il suit que e n'exerce 

 aucune influence sur la polydromie de la fonction ir, quand F(r) 

 représente une fonction algébrique rationnelle de z. 



48. En étendant les considérations du n" précédent, on est conduit 

 à cette question: quels sont les points du plan des qui doivent 

 être représentés par iv, poui qu'il soit satisfait à l'équation e" — f{z) , 

 ou, ce qui revient au même, à w = l(f{z)), lorsque dans cette 

 équation désigne un point P du plan des z ?'' Pour chaque 

 valeur indirecte du point P on obtient alors un autre point du 

 plan des w, puisque pour /"(rjnrrfa la valeur de i^' est indiquée 



par le point lr-\-\^ — 1 . «. A ce point de vue, ^ (/(:)) doit 



