160 A. BENTHEM GZ. THÉORIE DES NOMBRES COMPLEXES 



dw 



comme applicable aussi aux valeurs complexes de z, on a 



^ =:\](p et = rî (~ + (p) , et par conséquent aussi 

 dr d(p \2 / 



dw div . , dw dw ^ ( ^ , \ 

 — = - î^^ et =z — .rU- H- , 



dr dz d(p dz / 



d'où il suit 



dlV dw . n .r-ns 



— = r - t (56) 



d<p dr ^ ^2 ^ ^ 



comme condition à laquelle iv doit nécessairement satisfaire pour 

 être une fonction de z. 



Cette condition est d'ailleurs suffisante, ainsi que nous allons 

 le montrer. La différentielle totale de iv est 



dw , , dw , dw ( , ^ j ^'^\ dw , . 

 dr dcp dr\ V dr 



Cette même différentielle, après élimination de r, c'est-à-dire 

 après substitution de :| — </> à r, est 



où nous plaçons les coefficients différentiels partiels entre paren- 

 thèses, pour les distinguer des précédents. Ce résultat, combiné 

 avec celui qui précède , donne : 



et par suite aussi, dcp et dz étant indépendants l'un de l'autre, 



=0 



\d(p) 



'dw\ dw 



et 



(dw\ dw . 



) Lorsque q) est constant, on a — =hm. — = 1 | 9 ; 



dr 0 



e 



, , dz ^. ;.| (g) . I 2 / 71 e\ 



SI T est constant, on a - = lim. ■ Uni. f | gD-f---|- 1 



d^ 6 ^ I \ 2 2/ 



