162 A. BENTHEM GZ. THÉORIE DES NOMBRES COMPLEXES 



du cas d'une variable réelle à celui d'une variable complexe, on 

 pourra appliquer aux fonctions de cette dernière les mêmes règles 

 de différentiation et d'intégration qui conviennent aux fonctions 

 d'une variable réelle. On pourra donc calculer, pour toute fonction 

 continue, la fonction dérivée ou \ intégrale indéfinie, sans avoir 

 à se préoccuper de savoir si la valeur en question de la variable 

 est réelle ou complexe 



53. Pour Vintégrale définie j f{z)dz, ce principe subit tou- 



tefois une modification, parce que, dans le cas où : est une 

 variable réelle, ne peut passer de Zq à Z que d'une seule manière, 

 tandis que ce passage est susceptible de se faire d'une infinité 

 de manières si z est une variable complexe; dans ce dernier cas, 

 par conséquent, la série des valeurs intermédiaires n'est pas 

 prescrite, mais peut être représentée par une ligne quelconque 

 allant de à Z. De cette ligne dépend la valeur de l'intégrale, 



de sorte qu'on doit attribuer provisoirement à la fonction | f{z)dz 



un nombre infini de valeurs. Il faut donc examiner quel rapport 

 existe entre la valeur de cette intégrale définie et les différents 

 chemins que : peut parcourir de z^ à Z. 



54. Si z est une variable complexe, qui passe suivant une 

 ligne quelconque de Zq à Z , de telle sorte que , pour aucun point 

 de cette ligne , f{z) ne devienne infiniment grande ou discontinue ^) , 



^) Bien entendu qu'on devra montrer préalablement que la théorie des valeurs- 

 limites, établie dans l'Analyse algébrique , convient aussi aux variables complexes. 



^) Pour un même point P, une fonction peut être continue ou discontinue, 

 suivant qu'on considère l'une ou l'autre valeur de ce point P. C'est ainsi que 



la fonction ' point z = est discontinue pour -|-l=lt(4^ 4- 2)7i 



et continue pour -f-1 = J î 4/1- r,. Dans le premier cas sa valeur en ce point 

 est C30, dans le second cas + Pour cette raison, ce point P est aussi appelé 



un point de ramification. Il en est de même de -jl . Lorsque la valeur 



d'un point de la ligne parcourue est r|a, celle du point suivant est 0'-j-ç)î("^-|-s) 



2, 



et non {r + d) \ {a + k n s). 



