ET BICOMPLEXES. 



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et si l'on prend sur cette ligne une série de points dont les 

 valeurs soient successivement représentées par , • • l'in- 

 tégrale de/'(:)f/:, entre les limites ZoCtZ, est définie par l'équation 

 identique : 



fj{z)dz = lim. [>,-:.)/(:.) + + 



+ (Î3-Î.)n^.) +•■•• + (Z-î„) A«n)], (59) 



lorsque *la limite de chaque différence — est = 0. 



55. Or, il est établi dans les éléments du calcul intégral qu'on a 



rf{z)dz =z F(Z)-F(zo) (60) 



dF(z) , _ X 



lorsque z représente une variable réelle, que est — f{z) 



et que ¥{z) reste continue pour toutes les valeurs de z, depuis 

 Zq jusque et y compris Z. La démonstration de ce théorème 

 demeure mot à mot applicable, 



1^ si : est une variable complexe et que z^ et Z représentent 

 des points arbitraires du plan; que tous les accroissements infi- 

 niment petits de en d'autres termes toutes les différences 

 2^ — , sient les mêmes directions , ou, ce qui revient au même , 



que z parcoure de 2o à Z une hgne droite ; que F(2;) soit continue 

 pour les points de cette ligne; enfin, que pour les points suc- 

 cessifs de la hgne on prenne les valeurs de : qui correspondent 

 à une même valeur initiale z-=Zq; 



S*', si z représente une direction complexe «||a, etquezoetZ 

 soient par conséquent des directions arbitraires; que tous les 

 accroissements infiniment petits de z, c'est-à-dire toutes les dif- 

 férences Zj, — aient le même angle de position, et que par 



conséquent z parcoure un plan de Zo à Z ; que ¥(z) soit continue 

 pour toutes les directions parcourues dans ce plan; enfin, que 

 pour les directions successives on prenne les valeurs qui corres- 

 pondent à une même valeur initiale z z=: Zq. 



56. En embrassant maintenant les points de ramification et 

 les points dans lesquels la fonction devient nulle ou discontinue 



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