iQA A. BENTHEM GZ. THÉORIE DES NOMBRES COMPLEXES 



SOUS le nom commun de points critiques [Ausnahme-Puncté) , 

 on arrive aux résultats suivants. 



Si dans vj^ j f[':)dz on lait parcourir à :, de :o = P, à ZzziP^, 



deux chemins différents composés de lignes droites, P, P3 Po et 

 PjP^P-Po (fig. 11), pour lesquels les conditions posées ci-dessus 

 soient satisfaites, et si Ton représente par I (Pj P^) la valeur de 

 l'intégrale de f(z)dz lorsque : passe de P, à P^ par la ligne 

 droite P,P4, la valeur de /,/' est suivant l'un des deux chemins, 



p, P3 p.. 



w, =1(P,P,), 



et suivant l'autre chemin, P, Pj P. P, , 



w,=I(P,P,) + I(P,Ps) + I(P.P.). 



Dans la supposition de j f {:) dz — F(z) , on a, d'après ce qui 



a été dit plus haut: 



I(P,P,) = F(P,)-F(P,), 

 I(P,PJ = F(P,)-F(P,), 

 I(P,P,) = F(P,)-F(P,), 

 I(P,P,) = F(P,)-F(PJ, 



et par conséquent, puisque dans ces égalités P^ et P- représentent 

 toujours la même valeur, 



.•,=:F(P,)-F(PJ, 

 et tv, -¥{?,). 



Dans ces deux équations, P^ représente la même valeur (initiale) 

 Zq] si donc P2 représente aussi dans toutes les deux la même 

 valeur, on a 



ît\ z= U'2 , 



c'est-à-dire que l'intégrale est la même, prise suivant l'un ou 

 suivant l'autre des deux chemins. 



Comuie ce raisonnement est indépendant du nombre des points 

 intermédiaires P.^ , P5 , . . . ., on a donc cette proposition: 



Si z parcourt de à Z deux chemins différents , de telle sorte 

 que sur ou entre ces chemins il ne se trouve aucun point critique , 



