ET BICOMPLEXES. 



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et que par conséquent aussi, à la même valeur initiale Zq de z, 



corresponde la même valeur finale Z dez, la valeur de uj-=z\ f{z)dz 



est la même le long des deux chemins^), ou, en d'autres termes: 



La valeur de V intégrale définie {[z)dz est indépendante 



du chemin parcouru par : de z^ à Z , aussi longtemps que sur 

 ou entre ces chemins il n y a pas de points critiques. 



Si l'on remarque maintenant que de la définition de l'intégrale 

 défmie il résulte 



on a aussi les deux propriétés suivantes: 



Si z parcourt une ou plusieurs fois une ligne fermée qui ne 

 contient ni n'inclut aucun point critique, de manière qu'après 

 les diverses révolutions le point de départ acquière de nouveau 

 exactement la valeur quil avait à r origine du mouvement, la 

 valeur de w, c est-à-dire, la valeur de V intégrale définie prise 

 le long de la ligne fermée, est égcde à zéro; 

 et 



Si z, partant d^un même point, parcourt dans le même sens 

 deux ou plusieurs lignes fermées, semblablement situées par 

 rapport aux points critiques de la fonction , la valeur de IHntégrale , 

 prise le long des différentes lignes, est la mêm.e, en d'autres 

 termes, la valeur de celte intégrale est indépendante de la forme 

 de la ligne fermée que : parcourt une ou plusieurs fois. 



57. Supposons maintenant que :, parlant de Pj , parcoure k 



Une démonstration de ce théorème, fondée sur l'application du calcul des 

 variations, a été donnée par M. Puiseux, Untermchungen iiber die Algebr. Fundionen , 

 dargestellt von H. Eischer, Halle, 1861. Cette démonstration, de même que 

 l'élégante démonstration de Riemann, qui se trouve dans presque tous les Traités 

 sur les quantités complexes , s'appuie sur des considérations qui sont étrangères 

 à la nature des quantités complexes. 



