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A. BENTHEM GZ. THÉORIE DES -NOMBRES COMPLEXES 



fois en sens positif*) une ligne fermée PjQRPj (fig. 42), qui 

 inclut un seul point critique P = p ^ ; décrivons autour de P un 

 cercle PQ^, et menons en outre la droite Pj Qj ; d'après ce qui 

 précède , l'intégrale suivant P ^ Q R P j a alors la même valeur que 

 l'intégrale prise dans le même sens le long de la ligne PiQjRjQjP, , 

 et par conséquent, si l'on désigne par I,„ (P j Q ,) l'intégrale suivant 

 Pj Qj prise entre les limites Pj et Qj lors du m^^^^ parcours, 

 et par li{p^) l'intégrale suivant le cercle décrit autour dep^ lors 

 du /ième parcours , l'intégrale susdite w a pour valeur: 



W=l, (P, + 1, (p,) + I, (Q, P,) + I, (P, 0,; + I. ip,) + 



+ I^CQ.P,) + l3{P, Q,) + .... + Ii.(P,Q, ) + + I.(Q,P,). 

 Mais on a I,„(Q, P,) + I„, + i(P, Q,) = 0, et par suite aussi: 



tt. = I,(P,Q,)+ll,(p,) + U(0,P,) (62) 



1 



En faisant décroître indéfiniment la longueur du rayon PQj, 

 on a donc la propriété suivante: 



Si, dans tv =z f f{z)d:, :, partant de Zq, parcourt k fois 



une ligne fermée qui n enferme quun seul point critique , 

 la valeur de cette intégrale est égale à celle qui est prise dans 

 le même sens sur le cercle infiniment petit décrit de p^ comme 

 centre, augmentée de la somme des intégrales rectilignes Ij(PiO,) 

 et Ia-(Q,PJ. 



En désignant par r le rayon du cercle susdit, on a pour 

 les points de ce cercle - z=. p^ -\- r](f , et par conséquent , 



puisque dans Z\i{p^) (p seul varie et croît de « à rt + 2A;rr, 

 1 



d z z= r d(f ] -{- <f>^ = (: — p i) dç^ y et , après substitution : 

 h,{p,)=zi^''\z-^p^)f{z)dcp'l^ .... (63) 



1 J a 



' ) C'est-à-dire que k indique la différence des nombres de révolutions positives et 

 négatives accomplies par z autour de , de sorte que k peut avoir chaque valeur 

 entière (positive, nulle ou négative). 



