GÉODÉSIQUE ET DES SECTIONS PLANES NORMALES ETC. 355 



terrestre ont même latitude, les deux intersections normales se 

 confondent en un même arc elliptique , et que néanmoins la ligne 

 géodésique suit un cours différent. Le passage ci-dessus cité du 

 Taschenbuch de Jordan est aussi condamné, avec appel à M. 

 Bremiker, par M. F. R. Helmert, dans un article critique de la 

 Zeitschrift fur Mathematik imdPhijsik de Schlômilch , 48^ année, 

 1873, rubrique Literaturzeitimg , p. 39, où est donnée en outre 

 une formule (inexacte, à ce qu'il me semble) pour l'écart qui 

 existe, dans le cas particulier dont il vient d'être question , entre la 

 section normale commune et la ligne géodésique, prises en leur milieu. 

 Il y a donc là une apparente contradiction , dont personne , à 

 ma connaissance, n'a donné d'explication spéciale, bien que les 

 formules (9) et (15) de M. Clarke, établies pour la Terre, eussent 

 pu fournir quelques indications à cet égard. Dans les dévelop- 

 pements qui suivent, j'essaierai de résoudre la difficulté signalée , 

 et en même temps de mieux déterminer, pour différents cas, les 

 rapports qui lient entre elles la ligne géodésique et les sections 

 normales sur une surface donnée. 



Tant qu'on se borne à considérer, non la valeur propre des 

 angles que la ligne géodésique fait avec les sections normales, 

 mais seulement leur rapport, on peut se convaincre aisément et 

 presque sans aucun calcul (par une méthode qui pourrait aussi 

 servir dans d'autres cas analogues) que, en général, la propriété 

 trouvée par M. Weingarten est réelle. 



i". Supposons, en effet, que sur une surface quelconque on 

 ait tracé entre deux points rapprochés P et Pi la ligne géodé- 

 sique et les deux sections planes normales en P et Pj , et que par 

 les points- de la hgne géodésique on mène les plans tangents à 

 la surface , ceux-ci donneront par leurs intersections deux à deux 

 les génératrices d'une surface développable, qui enveloppera la 

 surface donnée suivant la Hgne géodésique elle-même. Si l'on 

 s'éloigne un peu à droite ou à gauche de cette ligne, il suit du 

 contact des deux surfaces que leur distance mutuelle en cet endroit 



