356 F. J. VAN DEN BERG. SUR LES ÉCARTS DE LA LIGNE 



est une petite grandeur d'un ordre double de celui de l'éloigne- 

 ment de la ligne géodésique , et par conséquent négligeable par 

 rapport à cet éloignement. Comme en outre les deux surfaces ont 

 leurs normales communes dans tous les points de la ligne géo- 

 désique PPi, il est évident qu'elles fournissent non-seulement une 

 ligne géodésique absolument commune entre P et Pj , mais aussi , 

 abstraction faite de petites grandeurs d'ordre supérieur, des inter- 

 sections communes avec les deux plans normaux en ces points. 

 De cette manière , la démonstration pour une surface quelconque 

 se trouve ramenée à celle pour une surface développable déter- 

 minée par la première. Or si l'on étend la surface développable 

 sur un plan, les angles finis ne changeront pas de grandeur, 

 tandis que la ligne géodésique PP, deviendra une ligne droite 

 (fig. 1 , Pl. YIII) et que les sections normales en P et P, se 

 transformeront en lignes courbes PjoP^ et Pj P, qui auront 

 respectivement en P et P^ des points d'inflexion. ^) En outre, 

 ces courbes seront situées de part et d'autre de leur corde com- 



1) Si l'on se représente en général, pour un point P d'une courbe quelcon- 

 que M P Q, tracée sur une surface développable , la génératrice P S , les éléments 

 adjacents égaux M P et P Q et le prolongement P M' du premier de ces 

 éléments, qu'on fasse dans le plan SPM' l'angle SP^ égal à S PQ, et qu'on 

 prenne P^=:PM' = PGl, il résulte du triangle rectangle infiniment petit M' 

 que la courbure de la courbe développée M P^ , mesurée par l'angle de contingence 

 M' P ^ ou par le côté M' q de l'angle droit, est égale au produit de la cour- 

 bure de la courbe originelle M P Q,, mesurée par l'angle de contingence M' P Q, 

 ou par l'hypothénuse M'Q, et du cosinus de l'angle QiW q formé par le plan 

 osculateur M' P Q, de cette courbe et le plan tangent M' P S à la surface. (Voir 

 aussi, pour la démonstration de cette propriété: P. Minding, dans Crelle Jour- 

 nal fiir Mathematik, t. XVI, 1837 , p. 351; E. Catalan, à?ins,\QS Comptes i-endîis 

 de l" Académie des sciences, t. XVII, 18*3, p. 738 — 739; J. de la Gournerie, 

 Géométrie descriptive, 1860 — 6i, art. 471= et 819; et P. ^txvQi , Théorie' nouvelle 

 des lignes à double courbure, 1860, p. 8—10 et 129 — 130). Si donc le plan 

 osculateur est en un point P normal à la surface développable, la courbure de 

 la courbe développée devient nulle dans le point correspondant, c'est-à-dire que 

 cette courbe y présente un point d'inflexion, ce qui résulte aussi directement 

 de ce que, pour chaque point P de ce genre, les éléments adjacents M P et PQ, 

 sur la surface doivent former des angles égaux avec la génératrice P S. 



