GÉODÉSIQUE ET DES SECTIOjN'S PLANES NORMALES ETC. 357 



mune PPj: en effet, Texistence du point d'inflexion en P montre 

 que la courbe Pj^Pj, prolongée en arrière, fournirait encore, 

 à une distance P P' sensiblement égale à P Pj , un point d'inter- 

 section P' avec le prolongement de la corde Pj P, et que par 

 conséquent cette courbe peut être déterminée, non-seulement par 

 la normale en P et par le point antérieur Pj , mais tout aussi 

 bien par cette normale et par le point postérieur P', de même 

 qu'en Pj la courbe P^p^ P est déterminée par la normale en ce 

 point et par le point postérieur P; or il faut, abstraction faite de 

 différences d'ordre supérieur, que dans le passage de P àPj les 

 courbes correspondantes V p' P' et Pi />i P soient non-seulement 

 égales et semblables , mais aussi semblablement situées. Remarquons 

 maintenant que la propriété générale, suivant laquelle la corde 

 d'une courbe quelconque fait avec les tangentes à ses extrémi- 

 tés de petits angles dont le rapport a pour limite l'unité, subit 

 une exception précisément dans les points d'inflexion, et que là 

 l'angle en question n'a que la moitié de la valeur de l'angle im- 

 médiatement suivant (ainsi que le fera voir tout à l'heure un calcul 

 très simple); il en résulte qu'on aangle/)PPj = angle jo' P P'. = 

 I angle/)' P' P et par conséquent aussi, à une différence d'ordre 

 supérieur près, = i angle PPj ; de même, angle jt), P^ P = 

 angle/)/ P P = angle /? P Pj = | angle pV ^ P. Ainsi se trouve dé- 

 montrée la proposition de M. Weingarten. 



2°. Mais si, après avoir considéré deux points rapprochés quel- 

 conques, on passe à la supposition qu'ils soient placés de telle 

 sorte que leurs normales se coupent, les deux sections normales 

 se confondent en une seule, qui dans le développement montre 

 alors un point d'inflexion aussi bien en P qu'en Pj. Si dans ce 

 cas particulier, tout comme dans le cas général, cette section com- 

 mune, comptée à partir de P, se présentait exactement de la même 

 manière que lorsqu'elle est prise dans le même sens à partir de Pj , 

 on pourrait de nouveau tracer, à côté de la courbe à deux points 

 d'inflexion en P et en Pj , une courbe égale, semblable et sembla- 

 blement placée, à deux points d'inflexion en P' et en P. Mais 

 c'est ce qui n'a pas lieu ici: prise à partir de P, la courbe est 



