358 F. J. VAN DEN BERG. SUR LES ÉCARTS DE LA LIGNE 



déterminée par la normale* en ce point et par la suivante en ; 

 prise à partir de P, , par la normale en ce point et par la pré- 

 cédente en P, puisque, la normale suivante ne coupe pas celle 

 de Pj. Il en résulte qu'en Pj il n'y a plus à considérer une 

 répétition de la courbe dans le même sens progressif qu'en P, 

 mais bien dans le sens rétrograde, ce qui est d'accord avec la 

 réduction des deux courbes à une seule. 



8°. Un autre cas particulier dont il y a à tenir compte est celui 

 où la normale au point P est coupée, non par celle du point 

 Pj situé à une distance finie quoique petite, mais par celle 

 d'un autre point de la ligne géodésique, infiniment rapproché de 

 P; en d'autres termes, le cas où la ligne géodésique est tangente 

 à l'une des deux lignes de courbure de la surface au point P. 

 Dans cette hypothèse, les deux points d'inflexion de la courbe 

 P;) Pj , tout à l'heure encore séparés par une distance finie P Pj , 

 coïncident en P, où la courbe a alors trois éléments consécutifs 

 en ligne droite. Gomme dans ce cas, toutefois, la seconde inter- 

 section normale Pjj^jP, contrairement à la première, conserve 

 son caractère général (point d'inflexion ordinaire en Pj) , il paraît 

 difficile de trouver le rapport des angles en P et P, , sans en 

 venir au calcul direct de ces angles eux-mêmes. 



Ce qui précède peut être éclairci dans une certaine mesure 

 par un calcul simple, qui, tout en laissant encore provisoire- 

 ment indécise la valeur réelle de l'angle compris entre la ligne 

 géodésique et la section normale , étabUt les relations de cet angle 

 avec deux autres grandeurs très propres à faire ressortir la dis- 

 tinction des deux courbes, à savoir avec la différence de leurs 

 longueurs et avec leur plus grande distance ou leur flèche. 



i". Par rapport à un système de coordonnées rectangulaires 

 ayant son origine en P et pour axe des abscisses la tangente 

 P X à la section normale développée Pj^Pj, l'équation de cette 

 courbe près de P peut, en effet, être représentée par y-z^kx^ 

 -hBir^ +G^c^ -h etc. (les termes en x'* ei étant conservés 



