GÉODÉSIQUE ET DES SECTIONS PLANES NORMALES ETC. 359 



en vue des cas particuliers 2°. et S\), d'où il suit pour l'angle 

 compris entre la ligne géodésique et la section normale en P: 



IL =: A^c^ + B^c^ Cx^ + etc. Cette formule, combinée avec — 

 X dx 



= 3 Aa;^ -i- A Bx^ + 5 G^c* -h etc., montre d'abord que 



pour un point rapproché ou (x , y) on a J^::= 



X S dx 



c'est-à-dire que l'angle en question est le tiers de l'angle de di- 

 rection de la tangente en P^ , et par conséquent, ainsi que nous 

 l'avons dit ci-dessus, la moitié de l'angle compris entre la ligne 

 géodésique et la même section normale en Pj i). Des valeurs 



trouvées pour — et — il suit en outre , qu'en faisant la longueur 

 X dx 



de la ligne géodésique PP^ =(t et celle de la section normale 

 P p P , = a , on a : 



(jz=i^{x''-hy'^)=x }l4-A2^*+2ABc'+(B2H-2AC)^6_^etc. = 



--ic -fi- A^^^' + AB^« +4(B' +2AC)a;7 + etc., 

 2 2 



1 ) Le fait que l'angle de la ligne géodésique et de la section normale s'élève au 

 2e ordre, bien que ces deux lignes ne soient pas tangentes l'une à l'autre, se trouve 

 donc expliqué précisément par la particularité de l'existence d'une normale principale 

 commune aux deux courbes tracées sur la surface, c'est-à-dire par la particu- 

 larité du point d'inflexion P dans le développement. C'est pour n'avoir pas fait 

 attention à cette particularité , tout en mettant en avant l'absence de contact , que 

 M. H. Levretj dans un Mémoire publié par extrait aux Comptes rendus, tome 

 LXXYI, 1873, p. 540 — 542, mais retiré plus tard (/èfc?. p. 822), a donné pour 



1 1 , "T , . ^ n ^ . . ^ Ke'^ sîn'ï'h sîu'iz cos Z 

 le sphéroïde terrestre la formule inexacte A + = 200 gr. -\ ^-z-, 



1 X 



(ou dans la notation adoptée ci-dessous : y — y' =. e^" ^sm2cp sin 2 a cos a) , 

 d'après laquelle l'angle en question ne serait que du 1er ordre en x\ 



