362 F. J. VAN'DEN BERG. SUR LES ÉCARTS DE LA LIGNE 



point quelconque de l'arc VpV^ l'ordonnée y = — ^Ba^j^c^ -h 

 B^* + etc. , qui dans le cas général était approximativement pro- 

 portionnelle à la 3e puissance de l'abscisse x , devient du ordre 



• X 



et acquiert en outre un coefficient numérique dépendant de — 



même. Ensuite, on a maintenant pour le point d'inflexion Pj : z= 



— B^i^ +etc.,^^z=-'B^j3+etc. et {^^\ =: — ^ Bx,.x.^-\- 



x^ \dx/x^ 



+ ^Bx,^ H- etc. = — 2B^j^ + etc., d'où l'on conclut que, 

 concurremment avec l'élévation au 3^ ordre de ces deux angles, 

 qui dans le cas général appartenaient au 2^, l'égalité des angles 

 de la courbe PjoPj avec sa corde PP, , égalité qui faisait défaut 

 tant que le seul point P était un point d'inflexion, se trouve 

 rétablie. De plus, la différence de longueur ct' — (/, que nous 

 avons vue être du 5^ ordre dans le cas général, monte mainte- 

 nant au 7e : elle devient en effet, attendu que dans le coefficient 

 du troisième terme 16 A G disparaît en présence de 9B^: 



a'-(7=^.4B=^^, 2B^,.B^/+— , B=^^, ^+etc=l^B-a;, ^H-etc. 



Enfin, la formule générale de la flèche ne peut plus servir 

 directement dans le cas actuel , parce que la solution de l'équation 

 kx'^ -h B^*^ =: 3 koé ^ H- 4 Bjc' 2 , sur laquelle elle est fondée, sup- 

 pose encore l'égalité d'ordre de A et de B, et que c'est aussi 

 seulement dans cette hypothèse que les expressions de xi ^ et de ^c' ^ 

 qui se déduisent de la valeur trouvée pour x , peuvent être arrê- 

 tées respectivement après le deuxième et après le premier terme 

 et vérifier ainsi cette équation. Au heu de l'équation réduite 

 kx^^ =zS kx' 2 , qu'on pourrait employer pour une première appro- 

 ximation dans le cas général, il faut prendre maintenant l'équa- 

 tion complète, mais sous la forme — 2 Bx^.x^^ + Bxi^zzz 



— QBx^.x'^ -\- Ahx' ^ OM^x'^ — 6x^x'^'\-x^^z=0, laquelle 



X 



donne, pour la racine dont il s'agit ici, x' = Gomme on 

 pouvait plus ou moins s'y attendre, la flèche se place en ce cas 



