364 F. J. VAN DEN BERG. SUR LES ÉCARTS DE LA LIGNE 



tion normale étant connu au moyen des coefficients A, B, C 

 etc. , de calculer directement la différence de longueur et la flèche. 



Si l'on veut maintenant passer au calcul effectif des angles que 

 la ligne géodésique fait avec les deux sections normales, et se 

 borner dans ce calcul à un certain degré d'approximation , il n'est pas 

 nécessaire d'opérer sur la surface donnée elle-même , mais on peut de 

 nouveau faire usage de la surface développable enveloppe que nous 

 avons déjà menée le long de la ligne géodésique. Veut-on se 

 contenter d'un degré d'approximation encore moindre, le moyen 

 qui se présente le plus naturellement est de remplacer cette sur- 

 face développable par une autre plus simple, à savoir par le cône 

 ayant pour sommet le point de contact de l'arête de rebrousse- 

 ment avec la génératrice qui passe par le point considéré P, et 

 pour directrice la ligne géodésique elle-même. Enfin, veut-on 

 réduire encore davantage les prétentions à l'exactitude, on peut 

 remplacer ce cône par le cylindre ayant la même directrice et 

 la même génératrice, en d'autres termes, substituer au point de 

 l'arête de rebroussement un point situé à l'infini. 



Pour trouver d'une manière simple une première valeur approchée 



des angles en question, considérons donc d'abord (fig. 2), sur un 



cyHndre de révolution à rayon r, deux points P et Pj d'une hélice 



faisant un angle 7 avec les génératrices; soit e l'angle au centre 



P QR qui correspond à ces points. La section du plan mené par 



la normale P Q et par le point Pj avec le cylindre ou avec son 



plan tangent en P fait alors , avec la génératrice en ce dernier 



point, un angle y' égal à l'angle RPjS que la génératrice en P, 



fait avec le plan normal désigné; cet angle est donc exprimé, 



attendu qu'on a PjR = arc PR.cotïf par la formule tg f =z 



rsine sin s ^ p., ^ . 1 j i 



z= tgy. D autre part, la section du plan passant par 



rscoty s 



la normale P^Q, et par le point P, avec le cylindre ou avec son 

 plan tangent en ce même point P, fait avec la génératrice en ce 



