366 F. J. VAN DEN BERG. SUR LES ÉCARTS DE LA LIGNE 



7 — / = s^sm 2 r et y" — r=- s'^sin 2 / 

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restent donc applicables comme première approximation, à con- 

 dition de regarder f , pom^ une sm^face développable, comme Tangle 

 des normales extrêmes de son intersection avec le plan normal 

 de la génératrice en P , et pom^ une surface quelconque , comme 

 l'angle des normales extrêmes de l'intersection de cette surface 

 avec le plan normal de la génératrice de la surface développable 

 déterminée par la ligne géodésique , laquelle génératrice détermine 

 alors en même temps l'angle (aigu) /. Gomme cette génératrice 

 est formée par l'intersection du plan tangent en P avec le plan 

 tangent au point immédiatement suivant de la ligne géodésique, 

 elle peut en outre être regardée comme l'intersection analogue 

 pour ces deux mêmes points sur le paraboloïde osculateur de 

 la surface donnée en P, et, comme telle, elle coïncide avec celui des 

 diamètres de l'indicatrice de cette surface qui est conjugué de la 

 tangente de la ligne géodésique, c'est-à-dire, avec la tangente 

 conjuguée de la surface elle-même en P. 



Si l'on veut se rendre encore plus spécialement compte du 

 degré d'exactitude qu'on atteint suivant que la surface donnée 

 est remplacée par une surface développable, par un cône ou par 

 un cylindre, on remarquera quen chaque point de la ligne 

 géodésique, sauf en P, les génératrices de la surface développable 

 et du cylindre forment un petit angle ; deux lignes tracées sur ces 

 surfaces , à de petites distances du même ordre prises à partir de 

 la ligne géodésique, ont entre elles une distance qui est de Tordre 

 immédiatement supérieur et par conséquent négligeable, de sorte 

 que la ligne géodésique et la section normale de la surface déve- 

 loppable peuvent être aussi considérées comme telles pour le 

 cylindre. Or nous venons de voir (ce qui d'ailleurs avait déjà été 

 trouvé ci-dessus d'une manière générale) que pour le cylindre 

 l'angle / — 7' de la ligne géodésique et de la section normale est 

 du 2e ordre , et que par conséquent la distance de ces lignes est 

 du Se ordre , ce qui , dans la direction de la génératrice , pourrait 

 aussi être établi facilement par un calcul direct. Ce résultat s'applique 



