368 F. J. VAN DEN BERG. SUR LES ÉCARTS DE LA LIGNE 



complication, à T approximation jusqu'au 4^ ordre par la surface 

 développable , on veuille par contre, au moyen du cône, déve- 

 lopper le calcul jusqu'au 8^ ordre, on pourra, de même qu'on 

 l'a fait ci-dessus pour le cylindre, simplifier l'opération en choi- 

 sissant un cône de révolution. Gomme sommet de ce cône il 

 conviendra de prendre le point correspondant de l'arête de 

 rebroussement de la surface développable, c'est-à-dire le point 

 d'intersection des plans tangents à la surface donnée en trois 

 points consécutifs de la ligne géodésique; comme axe de révo- 

 lution on pourra employer la droite qui fait des angles égaux 

 avec ces trois plans, c'est-à-dire l'intersection des plans bissec- 

 teurs intérieurs de leurs angles dièdres. Dans l'hypothèse que 

 l'arc PP, soit suffisamment petit, l'écart entre le cône réel 

 et ce cône de révolution sera de nouveau négligeable. Faisons 

 maintenant (fig. S) les génératrices T P =i / et TPj=/,, le 

 demi-angle au sommet PTQ:=P,TQ = i^, et l'angle au 

 centre POR = £; en premier lieu, la ligne géodésique P Pj forme 

 alors, dans le développement du cône, le côté d'un triangle PTPj, 



. , , ' ^ ' 1 ' cire P R s.OP ■ o , ^ 



dont 1 angle oppose est égal a ^ ^ = . = s sin 8 , et ou 



l'on a par conséquent l \ — sin (7 + s sin ^) : sin 7. Ensuite, les 

 angles 7' et 7" sont déterminés par les intersections respectives 

 du plan passant par la normale P Q et par le point P, et du 

 plan passant par la normale P, Qj et par le point P avec le plan 

 tangent en P, c'est-à-dire par les points d'intersection p' et p' 

 de ce dernier plan avec la droite menée par P^ parallèlement à 

 PQ et avec la droite P, Q, elle-même. Or , par rapport aux droites 

 perpendiculaires PQ, PS et PT, prises pour axes, les coordon- 

 nées de P 1 sont : j / , sin § (1 — cos s) cos 8 , sin ^ sin e , (/ — 1 1 ) + 

 /j sin ^ (i — cos s) sin et celles de Qj, comme intersection de 

 la normale en R, avec l'axe du cône: tg 3, 0, / — ]. Des 

 premières coordonnées il résulte: 



, sin § sin s sin 7 sin 8 sin s 



* (1 — 1 sin'^^{\—coss) sin{y-\-£sin^)—sitii-i-si7iysin^^{i—coss) 

 ou, pour de petites valeurs de^, jusqu'au 3^ ordre inclusivement: 



