372 F. J. VAN DEN BERG. SUR LES ÉCARTS DE LA LIGNE 



La substitution de cette valeur dans celles qui ont été trouvées pour 

 / — et pour 7" — '/ donne ensuite: 



1 



7 — y' = - oj2 cot 7 

 6 



et 



7' — 7 = cot 7 



3 



Bien que les derniers termes de ces expressions soient plus compli- 

 qués que ceux des formes primitives en s , les premiers termes , aux- 

 quels se réduiraient de nouveau ces valeurs pour le cylindre , sont 

 en revanche plus simples. Aussi n'est-il pas difficile, dans le cas 

 du cylindre , de trouver ces valeurs directement , et même encore 

 plus rapidement qu'on n'a pu le faire ci-dessus en fonction de e. 

 Pour cela, on n'a qu'à regarder la ligne géodésique PPj (fig. -4) 

 comme un petit arc de son cercle osculateur, arc dont le rayon 

 sera OP=:OPj =R et l'angle au centre POP, = w. (Si l'on 

 construit le triangle P^ RS normal à OP, on reconnaît que , entre 

 le rayon de courbure R et le rayon de courbure ci-dessus con- 

 sidéré Q P =z Q R = r de la projection P R de la ligne géodésique 

 ou de la directrice du cylindre, existe, comme première approxi- 



*• 1 R 2R.PS P, 1 , , , 



mation, le rapport _ — ^— ^ = = , dont la 



R o PS 1 

 division par — ^ — — donne de nouveau la valeur 



r e R S sin y 



1 



approchée — — pour le cas de ,'^ = 0). Mais, sans intro- 



w sin y 



duire maintenant r et s, il suffit de remarquer que les intersec- 

 tions Pj S et P, S' du plan osculateur 0 P Pj de la ligne géodésique 

 avec le plan P , R S parallèle au plan tangent du cylindre en P 

 et avec le plan tangent Pj R S' lui-même en Pj font respectivement , 

 avec la génératrice P^ R, un angle égal à /' et un angle qui (à 

 raison de la petite distance PP, des points de contact de ces 

 deux plans) ne diffère de )" que dans un ordre supérieur. Si 

 donc les triangles rectangles Pj RP (celui-ci à côtés courbes), 



1 , sin ^ (sin- 7 H- 4- cos- y) 

 24- sin^ '( COS ^ 



1 ^3 sin s {5sm^ y -\- Scos""- y) 

 24 sin^ y cos ^ 



