GÉODÉSIQUE ET DES SECTIONS PLANES NORMALES ETC. 373 



P, RS et P^RS', qui ont pour hypoténuses Rw, Rsin^ et 

 R w , sont rabattus dans un même plan (fig. 5) autour du 

 côté commun Pj R , et que de P, comme centre on décrive 

 un petit arc de rayon P, P=:R(y, qui détermine par conséquent 

 sur les deux autres hypoténuses les segments R w — R sin oi 

 et R tg œ — R co, la figure montre immédiatement qu'on a, 



comme ci-dessus: y —- y' = i — ' — _ cot y et 



R û) 6 



„ ,^ (R tg M — R oj) cot y 1 2 



R œ 3 



w - cot y. 



Plus haut il a déjà été question de la détermination du sommet 

 et de l'axe du cône de révolution qui se laisse substituer à la surface 

 développable enveloppe. Si l'on voulait exécuter à ce sujet un 

 calcul général, le plan tangent au point P ou (ic, , ^) de la sur- 

 face donnée dz -s^ p d v -\- q dij pourrait être représenté par U =: 

 p {X—x) + q (Y—?/) — (Z—z) = 0 , et la distance d'un point (X , Y , Z) 



à ce plan, en coordonnées rectangulaires, par ^ — . Le 



sommet du cône, considéré comme point d'intersection de trois 

 plans tangents consécutifs, est alors déterminé par le système 

 U = 0, d\] = 0, d"^ \] = 0; l'axe du cône, comme Heu géométrique 

 des points situés à la même distance des trois plans , par le système 



d ( — ^- -\ =0, d^( n ) =0, Dans 



le calcul de ces différentielles, X, Y, Z entrent comme con- 

 stantes, et X, y, z comme variables liées d'une part par la 

 relation dy = Xdx, d'où dz = pdx -h qdy = (p + kq)dx, 

 qui détermine la direction de la hgne géodésique , et d'autre part 

 par l'équation différentielle de cette ligne, exprimant la propriété 

 fondamentale que le point {x ^ dx -\- d^ x , y -\- ^ dy -\- d'^y , 

 z -\- dz d'^ z) doit être pris dans le plan déterminé par le 

 point {x, y, z) et par la normale au point {x -\- dx , y-\-dy, 

 z -h dz). Si l'on remarque toutefois que dans les valeurs de 

 y — y' et y" — / pour le cône, les longueurs ^ et , qui fixent 



