374 F. J. VAN DEN BERG. SUR LES ÉCARTS DE LA LIGNE 



le sommet et la position de l'axe, ont disparu, on reconnaît 

 que, en ce qui concerne ce calcul, il suffirait de déterminer le 

 demi-angle au sommet ^ et l'angle 



Au lieu de nous livrer à ce calcul, toutefois, nous allons aborder 

 l'étude analytique de la question considérée par rapport à la surface 

 donnée elle-même. En prenant pour axe des x d'un système de 

 coordonnées rectangulaires la tangente en P à la ligne géodé- 

 sique, et pour axe des z la normale à la surface, l'équation de 

 cette surface, au voisinage de l'origine P,est, d'après le théorème 

 de Taylor: 



1 1 



1 1 



^—^u' x'^-^-hi'i^ x^y^r^w' x'^y'^-\-hii\xy'^-\-ii\y'')-\^ 



où entrent comme coefficients les valeurs que les coefficients diffé- 

 rentiels partiels successifs de z par rapport k x t\,ky prennent à 

 l'origine. La projection de la ligne géodésique sur le plan XY, 

 lequel est perpendiculaire à son plan osculateur XZ en P, présen- 

 tera, d'après une propriété générale, un point d'inflexion en 

 P même, et aura par conséquent une équation de la forme 

 y-=z kx^ -h ^x^ + etc., ainsi qu'il ressort aussi de ce que, si 

 la valeur de y commençait par un terme k^x"^, la projection 



sur Y Z serait z = - — y H- etc. , de sorte que le plan oscula- 



teur ne passerait pas par la normale PZ. Si ^— ^ et 



\dx/ \dy/ 



représentent les coefficients différentiels partiels tirés de l'équation 

 de la surface, on aura, pour calculer les coefficients indéterminés 

 A, B, etc., l'équation (qu'on peut aussi, si on le veut, déduire 

 analytiquement) : 



