GÉODÉSIQUE ET DES SECTIONS PLAN'ES . NORMALES ETC. 877 



Quant à l'angle que la ligne géodésique fait en P avec la sec- 

 tion normale en Pj et passant par P, il peut être trouvé au 



raoven du point d'intersection de la normale "^^^ — ~ — ^ — ^ — 



\dxf \dy) 



=: — (Z — s) et du plan tangent Z = 0, c'est-à-dire au moyen 



du point 1 \=: X z ( — ) z= 39 + 1 rx- . rx + etc. nzx + etc., 



\dxi 2 



Y=î/-+- ^ (^) = ( A:?:^+B^^-t-etc.)-f- rx ^ + 1 ^ 3 ^ ^^^^ '1 ^, ^ 2 j 



= -h^r 5^ a:-^ + I^B-f i- + ^^i^^ ic* + etc. =: 



1 1 ^ 



z=. ^^^vsx'^ + ^ (orv -h 2 + etc. j . Il en résulte en 



effet pour l'angle en question: 



±(/'--;)=l=^l,^s:r^+l(5rl•^-2 5H):t:3 4-etc. . . (3). 

 X 5 24 



Dans toutes ces formules on peut remplacer x par rr, attendu 



que ^-'^ est du 2e ordre et — du i^r, et que par conséquent la 

 dx dx 



X 



longueur = f dxxy' ^ 1 H- f^^) + ^ J de la ligne géodé- 

 ] f \dx' \dxf ) 



0 



sique elle-même ne diffère de l'abscisse x que dans le 3^ ordre. 

 Mais cela n'aurait plus lieu si l'on avait voulu calculer 2/ et : pour 

 la ligne géodésique jusqu'au 5^ degré de x\ dans ce cas, où l'on 

 aurait aussi dû partir non de l'équation différentielle réduite (i') 

 de cette ligne, mais de l'équation complète (1), on aurait trouvé 

 les formules suivantes, dans lesquelles, toutefois, la loi des coef- 

 ficients ne paraît pas très simple: 



11 1 

 yz=z — rsx^— — {rv + ^lsu)x'' + —— | r.s (3 4- 12 5^)— 



D 24 12U 



— 3 [s u ' H- Il v) \ x^ -i- etc. 



Archives Néerlandaises, T. XII. 24 



