GÉODÉSIQUE ET DES SECTIONS PLANES NORMALES ETC. 379 



V Y 



et de même les anoles — et —pourraient être représentés en a M. 



^ X \ 



On pourrait encore chercher la longueur de l'intersection de la sur- 



1) Ces trois dernières formules pour les coordonnées x, y , z, et par suite 

 toutes les formules précédentes , auraient aussi, au moyen de coeflBcients indéter- 

 minés, pu être établies d'embleé en a au lieu d'en x\ il eût suflB de partir de 



l'équation \ dx + i — \ày — dz = 0 de la surface, ou bien de la relation 

 \d,i/ \dy} 



dx"^ -\- dyî- -{-dz"^ — da^ , l'une ou l'autre combinée avec les équations diffé- 

 d'^T d''-y 



rentielles — —- = = — d'^z qui , pour d(j constant , représentent la ligne 



(dx\ /dz\ 

 dz) \d~y) 



géodésique; elles en expriment, en effet , la propriété fondamentale , à savoir que sa 

 normale principale , c'est-à-dire la diagonale du losange construit sur les éléments 



adjacents égaux Zt: dm ou dx ^ d'^x , ± dy -j-^ d^ y , ± d z ^ d^z"^ , 



normale dont les cosinus de direction sont par conséquent proportionnels à 2. 

 d'iy, d'^z, coïncide avec la normale à la surface, dont les cosinus de direction sont 

 idz\ (dz\ 



proportionnels à | — i j ( — — 1. Que ces quatre équations, servant à résoudre 



.r , y et ^' en cr , sont réellement connexes entre elles, cela ressort de ce que la 

 première multipliée terme à terme par les trois dernières valeurs égales, donne 

 la différentielle dx d"^ x -\- dy d^y -j- c?^ é?^^' = 0 de la seconde équation dans l'hypo- 

 thèse de d(j constant. Il serait , de plus, facile de se convaincre que dans l'égalité des 

 valeurs susdites est impliquée l'équation différentielle (1), employée ci-dessus pour 

 le cas de dx constant, et qui exprime seulement quele plan osculateur de la ligne 

 géodésique passe par la normale à la surface: il suffirait de remarquer que, si 

 l'on prend d'^x, d'^y, d^z dans leur acception la plus générale , affranchies de la 

 condition de se rapporter à une valeur constante de da, alors, dans l'équation 



dx dy dz 



C?2.^• c?2y d'i-z 



/dz\ /dz\ 

 Ux) \dy) 



= 0, 



les éléments de la seconde ligne sont pour la tangente proportionnels à ceux 

 de la première, et pour la normale principale, témoin les valeurs égales déjà 

 itérativeuient mentionnées , proportionnels à ceux de la troisième ligne ; que par 

 conséquent cette équation représente en général le plan déterminé par la tangente 

 et par la normale principale, c'est-à-dire le plan osculateur , mais qu'en outre, par 

 l'introduction de l'hypothèse d^'x = G, elle se transforme dans l'équation (i). 



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