GÉODÉSIQUE ET DES SECTIONS PLANES NORMALES ETC. 381 



— Uni —iQii')x'^ (15 + 80 5 v -h 80 r^^n — 



1 4'40 



— 6 ri^" — lOm(') x^ + etc. 



Quand on se borne aux formules (2) et (3) , celles-ci donnent déjà 

 les angles compris entre la ligne géodésique et les deux sections 

 normales avec un degré d'approximation de plus que les formules 

 correspondantes de M. Weingarten pour n — ^ (ici ± (; — y')) et 

 pour (n-^ (ici ± = + _-^) 4- (y à sa voir: 



i 



a — ^ = — -a^ (Vq COS'^ ^ + t q siu'^ §) {v ^ t q) slil j? COS ^ et 



4 



) — te — - (vq cos^ ^ -\- Iq sin'^ (?) [i\ — to) sinS cos§\ 

 2 



les nôtres ont en outre une forme plus concise. Ce dernier 

 avantage devient surtout manifeste si l'on passe des formules (2) 

 et (3) à celles qui leur correspondraient sur les axes des coor- 

 données employés par M. Weingarten, c'est-à-dire si l'on prend 

 pour axes des X et des Y les tangentes aux deux sections princi- 

 pales de la surface qui passent par P, auquel cas la ligne géodésique , 

 la section normale en P et la section normale en P^ font respec- 

 tivement avec l'axe des X les angles », 5 et En désignant 

 les coordonnées de M. Weingarten par x' et y', on doit alors, 

 dans son équation de la surface développée jusqu'au 3^ ordre, soit 



1 1 



z =-{rQx'^+tQy' '^)+^{uox' 2+3i'o^' '^y -^Sv^x' y"^+u: ^y' •^)+etc., 



substituer x' x cos n — y sin a et y' x sln -\- y cos a , ce 

 qui, pour l'équation employée par nous, 



1 1 



:= - (r H- ^sxy -h etc.) H- - (ux^ -h Svx^ y -h etc.) + etc. , 



