382 F. J. VAN DEN BERG. SUR LES ÉCARTS DE LA LIGNE 



conduit à: 



r:= Vq cos^ a -\- Iq sin^ a j 



s=z — {Vq — t q) sin a COS a , 



u Q cos^ a -\- Q sin « co5^ « 4- ^v' q sin'^ a cas a + ii! ^ sin^ « 

 V =— i^o sina cos^a + Vq cosa[cos^a—^sin ^ « ) + Qsina{^cos^a—sin ^ a) + ' 

 + u' Q sin^ ce cos . . . 



Ces valeurs, dont la première exprime la relation d'Euler entre 

 les courbures des sections normales, donnent d'abord: 



i 1 



kzrz — - r5 = H- - {Tq cos'^ a -\- Iq sin'^a) [r^ — Iq) sin a cos « 

 6 6 



conformément à la formule de M. Weingarten pour « — § (sauf 

 remplacement de « par ^ et de x par a) , et d'autre part , si 

 cette formule est prolongée seulement jusqu'à l'ordre immédiate- 

 ment supérieur, le coefficient très complexe: 



B ~ — {rv H- 2 .stt) = — — ^ — 3 Uq sin « cos^ a 4- 

 24 24; / 



-^VqVq cos^ n[cos'^ a — ^ sln"^ u) +r qV' ^sificicos'^ a[^cos'^ a — lsin^u)-\- 



■^Vqîi' Qsin^acosa(cos^a~^2sin'^tt)-^-tQiiQsina cos'^aÇ^cos'^ a — sin'^a)-^ 



■^t qV ^Sitl' aCOSa{l COS"^ a—llsin'^ a)+t slfl^ et (8 COS"^ a — siu^ «) + 



4-3 ^0 u' Q sin^a cos « 



De même, le premier terme de la formule trouvée pour la 

 différence de longueur, 



11 



a' — a = — r'^ s^ -\- rs (rv 4- 2 su) 4- etc. , 



correspond à la formule 



s — az=~{rQ—toy(rQCOs'^^ 4- t ^ sin'^ ^y- cos'^ ^ sin'' § 4- etc. 



donnée par M. Weingarten (Baeyer, Messen, etc. p. 92). Quant 

 à la remarque faite à cette occasion, que, si la différence en 

 question était développée davantage, les termes suivants con- 



