GÉODÉSIQUE ET DES SECTIONS PLANES NORMALES ETC. 383 



tiendraient aussi le facteur {vq — t^)^ , on reconnaît qu'elle n'est 

 pas fondée. S'il en était ainsi, en effet, ces termes devraient avoir, 

 dans la notation maintenant employée, le facteur 5-: or, le pre- 

 mier terme nouveau ne contient s qu'à la première puissance, et le 

 terme suivant , pour lequel nous avons trouvé ci-dessus en général 



— (9 + 16 AC) x'^ , ne contient plus du tout ce facteur, 

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puisque ce terme ne disparaît pas pour 5 = 0 ou A = 0 et 

 1 . 



B = — çrr^^'- ^i^ii que pour la sphère, d'après M. Weingarten, la 



différence des courbures principales Tq et s'annule en même temps 

 que la différence de longueur s — a, la première de ces circon- 

 stances, qui se produit aussi aux ombilics d'une surface quel- 

 conque, ne suffit pourtant pas par elle-même pour en conclure la 

 féconde: en effet, tandis que chez la sphère il existe, en outre, 

 entre les coefficients différentiels supérieurs ? ^O' '^'o^ '^^ o 6tc. , 

 d'autres relations particulières qui peuvent expliquer la disparition 

 des termes supérieurs de s — a, cela n'a pas lieu nécessairement 

 chez une surface quelconque, et il arrivera seulement, en général, 

 que pour rQ=zto. la différence s — a montera du 5^ au 7^ ordre. 

 Une remarque analogue s'appHque aux angles ) — / et /' — y; 

 ils s'élèvent, dans le cas en question, du 2^ au 3^ ordre. 



"En ce qui concerne les premiers termes des expressions de 

 7 — , / — y et a' — a, les formules données par M. Wein- 

 garten font connaître , à la vérité , ces grandeurs plus directement 

 comme des fonctions des courbures principales Vq et de la 

 surface, et de l'angle « (ou par approximation ^) compris entre 

 la Hgne géodésique et la section principale qui correspond à Vq ; 

 mais, par contre, dans les formules auxquelles nous avons été 

 conduits, la signification du facteur r ressort plus immédiatement 

 comme courbure de la section normale tangente à la ligne géodé- 

 sique, c'est-à-dire comme courbure de la ligne géodésique elle- 

 même; et, d'autre part, une signification simple peut aussi être 

 attachée au facteur s, à l'aide de l'angle (ïiigu) y, ci-dessus 

 introduit, que la ligne géodésique fait avec sa tangente conjuguée. 



