384- F. J. VAN DEN BERG. SUR LES ÉCARTS DE LA LIGNE 



L'indicatrice de la surface est, en effet, rx"^ + ^sxy + ty"^ =0; 

 celui de ses diamètres qui est conjugué de la tangente ^/ — O de 

 la ligne géodésique est par conséquent rx.\ H- sx.\ ■=. 0, d'où 

 Y r 



4= / = ~ = — - ou s =: ±. rcot y. Il résulte encore de là , en 

 X s 



interrompant les formules (2) et (8) au premier terme: 



11 1 



qp (/— /) =: — - rsx'^z=:jf: r'^x^cot y et ± {y" — 7)= ±- r'^x'^ coty, 



U D O 



ce qui cadre de nouveau avec les formules, déduites ci-dessus de 



1 



la considération du cône ou du cylindre, y — 7'— - (jo'^cotyei 

 y" — 7=:-(w^ cot y ) attendu que l'angle o des tangentes aux extré- 



o 



mités de la ligne géodésique est égal au quotient de la longueur 

 (T ou a; de cette ligne par son rayon de courbure, c'est-à-dire 

 égal au produit rx. 



Pour ce qui regarde maintenant le rapport des angles que la ligne 

 géodésique fait avec les deux sections normales , il suit de (2) et (3) : 



y" — 7 8 r5 + (5 ru -\- ^2 su) x -\- etc. 



7— 7' A rs H- ( r?; + 2 su) x -h etc. 

 Si l'on suppose x infiniment petit, ce rapport devient égal à 

 2. Pour des valeurs finies, mais petites, de ^, il est approxi- 

 mativement égal à 2, du moins (ant que r ou s ne sont 

 pas trop petits. Si au contraire s, par exemple, est du même 



\ 



ordre que x, soit s=:kx, alors + (7 — 7') = — ^r(Ak-\-v) x^ -\- etc. 



et db (y" — y) =z ~— r (S k -\- b v) x^ -\- etc. deviennent du 3^ ordre , 

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et ' i^__^ k-\-5v çjg^jgj^^ dépendant de k; par exemple, pour 



7—7' â'k-hv 



1 1 



kz= — -V ou s =2 — vx, on trouve + (7 — 7' ) = ± (7" — 7) = 

 Ji A 



\ 



—-rvx^ H- etc. ou y'=:y": c'est le cas considéré au début, en 

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2", dans lequel les deux sections normales, ayant la même inter- 



