GÉODÉSIQUE ET DES SECTIONS PLAINES iNORMALES ETC. 385 



section avec le plan XY, coïncident, ou dans lequel les nor- 

 males en P et en Pj se coupent, ou du moins ont une distance 

 d'un ordre plus élevé que dans le cas général; pour A; 0 ou 

 5=rO, ce qui revient, comme on l'avait supposé en S\ à dire 

 que l'axe des X ou la tangente à la ligne géodésique est en 



même temps tangente à l'une des deux lignes de courbure, on a 







L = 5 ; pour kz= — v ou s z= — vx , on a ''- = i ou 



'/ — i 



7 =z= -(/' + -/') , de sorte qu'alors la ligne géodésique partage en 



deux parties égales Tangle des deux sections normales; etc. Si 

 l'on suppose que ce ne soit pas s, mais r qui reste petit, par 



\ 



exemple r-=k'Xj alors q= (-/ — ; ') = — —si'ilk' + u)x^ + etc. 



> ^ ^ 



\ 



et ± (-/" — ■/) — jQ-^ (4 /î' H- u) + etc. deviennent encore du 



3e ordre, tandis que le rapport ' ( ~ / — - ^' devient dépen- 



1 \ 

 dant de k' ; par exemple , pour k' — ~ u on r = — - ii x , 



o o 



on trouve de nouveau ■/'z=-/', c'est-à-dire, une section normale 

 commune; pour A;' =z 0 ou r=zO, c'est-à-dire lorsque la ligne 

 géodésique est tangente à l'une des deux lignes asymptotiques de 



la surface, on a -/zz:i(/ +/"); etc. 



Dans les» cas dont il vient d'être parlé, où soit s soit r a une 

 petite valeur, c'est-à-dire où l'arc considéré de la ligne géodésique 

 est du même ordre que la partie comprise entre les points pour 

 lesquels les normales à la surface se coupent, ce ne sont pas 

 seulement les formules relatives aux angles ; — ■/ et — •/ et à 

 leur rapport, qui, comme on vient de le voir, prennent d'autres 

 fonnes, dépendantes des coefficients k ou k' ; mais aussi celles 

 qui ont été établies ci-dessus, d'une manière générale, pour la 

 différence en longueur et pour la flèche de la ligne géodésique 

 et de la section normale. 



