386 F. J. VAN DEN BERG. SUR LES ÉCARTS T)E LA LIGNE 



Après avoir examiné la question au point de vue d'une surface 

 quelconque, faisons maintenant l'application des résultats trouvés 

 à une surface de révolution , et supposons que celle-ci soit donnée , 

 par rapport à l'axe de révolution OZ (fig. 6) et au plan méridien 

 X 0 Z qui passe par le point P , au moyen d'une équation de la forme 



z=: x"^ -\- = F (z). Il faut commencer alors par chercher 

 l'équation relativement à la tangente et à la normale au méridien 

 en P, prises pour axes des X' et des Z' , et à la tangente au parallèle 

 en ce point, prise pour axe des Y', lesquels axes des coordonnées 

 sont les mêmes que ceux employés en général par M. Weingarten. 

 Pour opérer cette transformation, on a, (ç, , 0, zj étant le point 

 P et l'angle d'inclinaison de la normale, les formules 



X =z — x sin(p — z cos cp , y :=z y' , z z= -\- x coscp — z's 'm (p , 



dont la substitution donne pour la nouvelle équation , — si l'on déve- 

 loppe le second membre suivant la série de Taylor, si l'on néglige 

 comme étant du ordre tous les termes en z'"^ et le terme en x' ^ z\ 



et si en outre les relations g^ - =z F {z ^) et tgcp = — 



dz^ 



F'(z ) 



= — -TT-^ ^«1 — — ^'cot(p sont prises en considération, — 



F' cot V {x' sin (p -I- z'cos (p) + {x'^ sin^ <f + 2 x' z' sin ^ cos g)) -\- y'^ =z 

 = F'{x'cos(f — z' sinq:)-i- ^F"{x'^cos^(r — ^x'z'simcos^f)-^ ^-F"'x'^cos^(p 



OU 



\^--^i^'-V'ly.'simcos^/z'z=^^- I (F'H-2)co5^^-2 \x"'--y''--\-\F"'x'Hos'^. 

 [sim ^2 ' 6 



En résolvant cette équation relativement à au moyen de la 



multiphcation par n — — ^ ^, on a donc, 



F' ( F' 



dans le cas d'une surface de révolution , pour les coefficients de 



l'équation déjà représentée ci-dessus, à l'exemple de M. Wein- 

 garten, par 



z^ — Ur,x'''+t,y''')'^\[u,x''+^d>v,x^ 



