GÉODÉSIQUE ET DES SECTIONS PLANES NORMALES ETC. 387 



les valeurs suivantes: 



- — ^ ' (F' + 2) cos'' cp — 2 j , — — — 



F' 



= [f"'cos^cp- ^JI::^^)!^^ I (F''+2).o.^^-2 1 ] ,.0=0, 



^ 0 ^Y^i ' 0 — ^• 



Ces mêmes valeurs peuvent aussi être déduites d'autres formules, 

 qui en outre conviennent mieux au calcul dans les cas où l'abscisse q 

 du méridien est donnée en fonction de l'angle d'incjinaison 9, 

 ou se laisse facilement exprimer en cet angle au moyen de = F (2) 



et de ta cp = — — . D'abord, en effet, 7\ et Iq ne sont autre 

 cl z 



chose que les courbures principales de la surface de révolution 



en P, c'est-à-dire les valeurs inverses du rayon de courbure Rj 



du méridien, et de la normale Rj prise jusqu'à l'axe de révolution; de 



1 dcp siticpdcp , , i coscp 



sorte quon a: = z=— — et ^0=5- = . 



Kj dx do Q 



d'où il suit encore: do = d {Iq o) ou Tq — — iiLfo ^ D'autre 



do 



d/\ dvr. df/fro^) , , dt^ dt^ 



part, on a : = — ^ = — ^ zz: - ^ " ^ et y- 0 = — ^ = ''0 -7-- 

 c^ic' z d(p dx' dcp 



ou encore = — — - — ^ = — — =—[rQ—tQ)tQtgcp. 



do Q 



En outre, i-q et it'o, comme coefficients différentiels partiels de 

 et de par rapport à 1/ , doivent dans le cas présent être 

 égaux à zéro, parce que les courbures principales ro et ^0 restent 

 constantes lors du passage de P au point immédiatement sui- 

 vant du parallèle. Si l'on voulait maintenant faire usage de 

 ces valeurs pour retrouver d'abord les valeurs ci-dessus de 

 et et par suite celles de Uq et i\' , l'opération reviendrait 

 essentiellement à substituer 2? = — Y' cot^p et dg = — tgcp. dz, 



ou — F' cot cp dz-i-F' = — ^tgcpdz, c'est-à-dire, F' co6 9 = 

 sin'^cp 



= sin cp j (F" + 2) cos'' cp — ^] dz. 



