398 F. J. VAN DEN BERG. SUR LES ÉCARTS DE LA LIGNE ETC. 



une surface quelconque, la même que celle qui est déterminée 

 par la condition que son plan fasse des angles égaux avec les 

 normales aux deux points extrêmes, peu distants, P et Pj. Elle 

 est en outre la courbe plane la plus courte qu'on puisse tracer 

 sur la surface entre ces deux points, ce dont on peut se con- 

 vaincre par une démonstration géométrique, analogue à celle 

 donnée par M. J. Bertrand {Journal de Liouville, t. XIII, 1848, 

 p. 79) de la propriété fondamentale de la ligne géodésique, en 

 remarquant: 1". que, parmi tous les arcs de cercle qui peuvent 

 être substitués à une quelconque des courbes planes PPj, celui-là 

 se rapproche le plus de cette courbe qui a pour rayon la moyenne 

 des rayons de courbure en P et en Pj , c'est-à-dire, le rayon de 

 courbure au milieu de PP^; 2". que, pour les différentes courbes 

 planes PP,, ces rayons de courbure, à des différences d'ordre 

 supérieur près, sont liés entre eux suivant le théorème de Meus- 

 nier; 3". que la courbe plane PPj la plus courte correspond au 

 rayon de courbure le plus grand, c'est-à-dire à celui qui se 

 place le long de la normale élevée au milieu de PP^. La consi- 

 dération de l'ellipsoïde osculateur, pour ce point milieu, confir- 

 merait aussi ce qui vient d'être dit. 



Delft, Octobre 1875. 



