330 D. BIERENS DE HAAN. NOTE SUR LA DIFFERENTIATION 



plication des deux méthodes a le même résultat, c'est-à-dire que 

 Ton peut différentier ou intégrer la fonction sous le signe d'inté- 

 gration multiple. Cela était connu à Caucliy. 



Il nous reste maintenant à considérer le cas où dans ces deux 

 méthodes les limites des intégrations dépendent bien de la con- 

 stante en question. C'est ce qui sera l'objet de cette note. 



3. Commençons par écrire la formule pour la dififérentiation 

 d'une intégrale définie par rapporta une constante, dont les limi- 

 tes sont fonction, 



f f/i,, .) r 4- R)-*/(.,r), . (1) 



dq } ^ do dg dg 



que l'on peut aussi écrire ainsi: 



-p f / ^) dx = f ilJ^ dx + 1 [r/ E) - ,■)] - 

 dgJ^ J dg dgi_ J 



L dg dg J 



Pour en déduire la formule analogue pour une intégrale double , 

 il faut prendre pour la fonction / (g^ x) dans l'équation (1) -la 



fonction 1 / (v, y) dy , où les limites q et Q seront encore 



des fonctions de la constante g. Lorsque ensuite, auprès du pre- 

 mier terme dans le second membre, on emploie de nouveau l'équa- 

 tion (1), il vient 



d 



dgl^ ^(^'-^y^^^y = 



■^lT dxÉ^Ç f{g,x,y)dy^ "^-^ i"^ f [g^^^^^^ f{g,r,y)dy= 

 K dgj^ dgJ,^ dgJ^ 



LJr Jq do Jr dg 



0 Voyez pour la déduction de ces formules mou „E.vposé de la théorie, etc. 

 des intégrales définies. Partie I, § i, No. 28 et No. 33. Verhaudeliiigen, 

 Dl. YIII, page 21 et 25. 



