ET l'intégration d'uNE INTEGRALE. 343 



3". Dans chaque intégrale multiple, ainsi obtenue, il faut en- 

 suite remplacer la fonction à intégrer par un produit de deux 

 facteurs. L'un est le coefficient différentiel de la limite substituée 

 par rapport à la constante. Pour trouver l'autre, il faut prendre 

 la fonction à intégrer dans l'intégrale multiple, à laquelle nous 

 voulons appliquer notre méthode : et il faut intégrer cette fonction 

 par rapport à la constante en question. Ensuite de ce résultat 

 dernier il faut prendre le coefficient différentiel partiel par rap- 

 port à la limite, que l'on substituée; et enfin il faut remplacer 

 la variable supprimée par la même limite. 



Ainsi l'on forme n couples en diminuant le résultat pour la 

 limite inférieure de celui pour la limite supérieure. La somme de 

 ces 11 différences s'ajoute encore à la somme que l'on obtenue au 2". 



De cette manière le second membre de la formule, que nous 

 cherchons à établir, se compose de 1 + 2w-f-2w = 4w-f- 1 termes, 

 qui tous sont des intégrales multiples et tous à w + 1 intégra- 

 tions successives, si l'on comprend l'intégration par rapport à la 

 constante dans* ce nombre. 



9. Observons à l'égard de cette formule générale en premier 

 lieu, qu'il n'a pas été fait mention de la constante indéterminée 

 qu' introduisait l'intégration par rapport à la constante en ques- 

 tion. Or, d'iine part toutes ces intégrations sont encore indéfinies , 

 et alors il n'y a pas lieu d'ajouter une constante indéterminée. 

 Et d'autre part , quand on prend l'intégrale par rapport à la con- 

 stante entre certaines limites, par exemple « et on verra aisé- 

 ment que cette indéterminée s'évanouit; en effet on n'a qu'à 

 égaler les limites de l'intégration pour une des n variables pour 

 démontrer cette assertion. 



Cette observation vaut tout de même pour les formules précé- 

 dentes (7), (8) et (9). 



En second lieu, lorsque quelqu'une des limites de dépend pas 

 de la constante, son coefficient différentiel par rapport à cette 

 constante s'annule et par conséquent les deux intégrales mul- 

 tiples correspondantes s'évanouissent. 



En troisième lieu quand c'est la fonction à intégrer, qui ne 



