LA THÉORIE DES SURFACES UU SECOND ORDRE. 351 



que les droites passant par des points correspondants concourent 

 toutes en un même point; le centre d'homologie. On voit sans 

 peine que l'une de ces propriétés amène l'autre. Maintenant, il n'y 

 a qu'un pas à faire pour trouver que la droite, qui joint deux 

 points correspondants, coupe le plan d'homologie en un point 

 formant avec le centre un couple qui , avec le couple des points 

 correspondants, détermine quatre points dont le rapport anhar- 

 monique est constant. 



Après l'examen de la question comment on peut déterminer 

 des systèmes homologues, et une application du résultat (Ponce- 

 let , Traité des propriétés projectives des figures, 1822, pag. 

 159 — 162), l'attention du lecteur est dirigée sur cette autre ques- 

 tion, s'il est possible de déplacer un système homographique par 

 rapport à un autre, de manière qu'ils deviennent homologiques. 

 On trouve qu'une position dans laquelle les deux systèmes sont 

 homologiques en amène une autre; qu'en général le déplacement 

 demandé est impossible. La démonstration est faite au moyen de 

 deux principes de déformation, dont on trouve plus loin une 

 généralisation. On voit aussi que deux systèmes, qui sont homo- 

 logiques à un troisième, ne sont pas en général homologiques 

 entre eux, que même il n'est pas possible de déplacer l'un d'eux 

 de manière qu'ils deviennent homologiques. 



A la fin de ce chapitre , les différents cas spéciaux de Fhomo- 

 logie sont énumérés et combinés avec ceux de l'homographie, 

 représentés par des symboles dont Mr. Cayley est l'inventeur. 



Les chapitres suivants sont consacrés à l'application de l'homo- 

 graphie. La définition qui sert ici de base est : „Une surface du 

 second ordre est une surface qui est coupée par une droite en 

 deux points à la fois réels ou imaginaires". Partant de cette 

 définition, on trouve d'abord que les lignes d'intersection d'une 

 telle surface avec une série de plans parallèles sont des sections 

 coniques homothétiques ; ensuite, que le lieu d'un point qui, sur 

 chaque droite passant par un point fixe, forme avec ce dernier 

 un couple harmonique par rapport aux points d'intersection de 

 la droite avec une surface du second ordre donnée, est un 



