352 p. H. SCHOUTE. HOMOGRAPHIE ET SON APPLICATION A 



plan. A son tour, ce dernier résultat donne lieu à toute une 

 théorie de pôles et de plans polaires et à une classification des 

 surfaces d'après la situation du centre , après la démonstration 

 que la sphère , le cône et le cylindre, dont la stéréométrie nous 

 a appris les propriétés, sont des surfaces du second ordre. Plus 

 loin on trouve le développement d'un théorème de feu Steiner 

 (Crelle, Tomel, page 41), et successivement le tétraèdre polaire 

 parfait et imparfait, les diamètres conjugués, les polaires récipro- 

 ques, les tangentes conjuguées de Dupin passent la revue. C'est 

 par une démonstration de l'existence des deux sections circu- 

 laires que le troisième chapitre se termine. 



Le quatrième chapitre offre d'abord une démonstration de cette 

 vérité: que deux surfaces du second ordre ont toujours un tétra- 

 èdre polaire commun, que ce tétraèdre est parfait si elles ne se 

 touchent pas, qu'il est imparfait si elles se touchent dans un 

 point, qu'il y en a une infinité si elles se touchent en plusieurs 

 points, que toutes les surfaces qui passent par la courbe d'inter- 

 section de deux surfaces données du second ordre ont un tétra- 

 èdre polaire commun, dont les sommets sont aussi les sommets 

 des cônes qui passent par cette courbe. On trouve aussi le 

 théorème réciproque. Chemin faisant , on arrive à la détermination 

 de ces surfaces par neuf points, par neuf plans tangents. 



L'objet principal de ce chapitre est l'examen de la question 

 si deux surfaces du second ordre quelconques peuvent appartenir 

 à des systèmes homographiques, de telle façon, que ces sur- 

 faces se correspondent point pour point. Le résultat auquel on 

 arrive est que cela peut avoir lieu de cent quatre-vingt-douze 

 manières, quand on . fait correspondre un tétraèdre polaire de 

 l'une à un tétraèdre polaire quelconque de l'autre. En faisant 

 coïncider les surfaces, la surface se correspond à elle-même. 



Si ensuite on fait coïncider les centres de deux surfaces, 

 l'infini sera une des faces de leur tétraèdre polaire; ces surfaces 

 auront un système de diamètres conjugués commun. De la 

 comparaison d'une surface quelconque à une sphère, on déduit 

 les axes. Plus loin , les surfaces du second degré sont divisées en 



