LA THÉORIE DES SURFACES DU SECOND ORDRE. 353 



deux groupes , un groupe elliptique et un groupe hyperbolique , 

 liés l'un à l'autre par le cône. Cette division se fonde sur le 

 nombre des côtés du tétraèdre polaire, passant par un point, 

 qui contiennent des points réels de la surface. Si ce nombre est 

 impair la surface est elliptique , s'il est pair la surface est hyperbo- 

 lique. Le chapitre se termine par le développement de quelques 

 théorèmes de Mr. Hesse (par ex. : il passe une surface déterminée 

 du second ordre par les douze sommets des trois tétraèdres 

 polaires de trois surfaces du second ordre, prises deux à deux) 

 et de quelques autres théorèmes de Mr. Painvin (Crelle, 63). 



Le premier des deux chapitres suivants contient la théorie des 

 surfaces elliptiques, c'est-à-dire de l'ellipsoïde, de l'hyperboloïde 

 elliptique (à une nappe) et du paraboloïde elliptique; le dernier 

 chapitre renferme la théorie des surfaces hyperboliques, c'est- 

 à-dire de l'hyperboloïde hyperbolique (à deux nappesj, de la 

 nihiloïde (la surface dont tous les axes sont imaginaires , qui 

 ne présente pas de points réels, mais très bien des propriétés 

 réelles) et du paraboloïde hyperbolique. Les propriétés du premier 

 groupe de surfaces se déduisent toutes de celles de la sphère (voir 

 „r Aperçu historique", où cependant ne se trouve pas la démon- 

 stration du théorème, que le lieu du point d'intersection de trois 

 plans orthogonaux , tangents à un ellipsoïde , est une sphère) ; 

 tandis que les surfaces hyperboliques ont été considérées comme 

 le lieu des droites d'intersection de deux faisceaux de plans 

 homographiques. Le cinquième chapitre est terminé par une dé- 

 duction homologique de toutes les surfaces elliptiques de révolu- 

 tion et de la sphère, et par le calcul de la constante d'homo- 

 logie. Le sixième chapitre se termine par le développement d'une 

 propriété des foyers des surfaces de révolution. 



Leyde, 1?j Novembre 1870. 



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