I. 



Formeln zur Bestimmung der Flächen, die eine gegebene 

 binäre quadratische Differentialform als erste 

 Grundform besitzen. 



1. Im Jahre 1891 in Comptes rendus des séances de l'Académie des sciences à 

 Paris t. CXII hat Weingarten eine partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung 

 aufgestellt, die die Lösung des Problems, alle Flächen zu bestimmen, deren ßogen- 

 element einer gegebenen Formel genügt, manchmal vereinfacht. Sei für das Bogen- 

 element ds vorgeschrieben, dass 



(A) ds^ = Edti"" ^2Fdudv-\- Gdv\ 



wobei E\ F, G bekamite Funktionen von », v bedeuten, so handelt es sich bei der 

 fraglichen Theorie vorerst darum, das rechte Glied dieser Gleichung in die Form 



da.' + 2do^d-i 



zu bringen *, das heisst, a, ß, oj so als Funktionen von u, v zu bestimmen, dass 

 identisch 



(B) Edu- + 2Fdu dv -)- G dv- = do} + 2 rfw rfß 



wird. Ich nehme dann zuerst dieses Problem zur Behandlung auf. 



Zunächst bemerke ich, dass, wenn ich unter x, y, z die Koordinaten eines 

 Punktes in einem festen rechtwinkligen Cartesischen Axens3'steme verstehe, ** 



ds' = dx? + + dz"" 



wird, und dass das rechte Glied dieser Gleichung sogleich in die gewünscht^ Form 

 zu bringen ist, nämlich in die Form 



dz'^ -\- d(x -\- yi) d{x — yi) , 



* Vgl. GouRSAT, Sur Uli théorème de M. Weingarten . . . Annales de la Faculté des sciences 

 de Toulouse- T. V; Darboux, Leçons sur la théorie générale des surfaces. Livre VIII Chap. XIII; 

 Weingakten, Sur la déformation des surfaces, Acta mathematica T. 20; Bianchi, Lezioni di geo- 

 metria differenziale, Vol. II Cap. 19, 20. 



Eine andere Herleitung des Problems wird nachher in Nr. 5 — 7 erörtert. 



