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A. V. Backlund 



Weuu dauu 



Edu^ + 2Fdudv + Gdv'- = E'du'- + 2F'du'dv' + G'dv'^ 

 ist, uud mau von Werten von a, ß, oj, die man für die Form 



(a) Edu^ + 2Fdudv + Gdv' 

 aus der Identität 



Edir + 2Fdndv + = ^Za'- -j- 2^/(orfß 



als Funktionen von », ?> entwickelt hat, zu den Werten derselben Grössen in u' , v' 

 als Variabein übergehen will und man letztere Werte sowie alle auf die neue Form 



(b) E'dii'' + 2F'di,'dr' + G'dü- 



sich beziehenden Operationen akzentuiert, so hat man stets z. B. 



^ 1 H — -^1 1^ 



zu setzen, und da jedenfalls die Substitutionen (1) zulässig bleiben, darf man etwa 

 ß = ,r — yi nehmen, und das auch bei einer Form 



(c) [pd.v + qdyY + dx' + dy'' d. i. (1 + p^) d.rr + 2i>qdxdi, + (1 + r) dy\ 



die sich auf eine Integraltiäche dz —pdx -\- qdij von (A) bezieht und sich dann auf 

 eine Lösung 



(d) X ^ f[u, r), y = /; (//, r), s = z [x. y) 



von Gl. (2) gründet. Die auf (a) bezüglichen Invarianten A^ß, V (ßw), ^.Jj, A,a 



.X — yi, — , 



^2 — yi)Ai^ usw. 



Dass die auf die Form (a) bezüglichen a, ß, (o, die beim Übergang vom Para- 

 metersysteme {u v) zu (?«' uud damit von der Form (a) zur Form (b) die Werte 

 a', ß', o/ annehmen, für letztere Form dieselbe Bedeutung als Funktionen a, ß, co 

 bewahren, folgt sogleich daraus, dass für alle einander entsprechenden Wertsysteme 

 von «, V und ti' , v' die Funktionen a' und a, ß' und ß, w' und w bez. dieselben 

 numerischen Werte annehmen, so dass immer 



dor' + 2di>i' d'^' = da} + 2rfcü(?ß f/s^' 



wird. Hierauf gründet sich die jetzt folgende Erledigung des Problems (B). 



2. Dass jede der Grössen x, y, z auf der linken Seite der Gleichung (2) eine 

 Lösung IV der Gleichung 



A,, w ^ Kä,w = K 



ist, wenn K das Krümmungsniass der Form (a) bedeutet, das setze ich als bekannt 

 voraus und erkenne dann, weil 



Die in den folgenden Nr. 5 — 7 gegebene zweite Lösung des vorliegenden Problems ist 

 von dieser Voraussetzung frei. 



